2003年全国高中数学联赛试题.doc

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2003年全国高中数学联赛试题 第一试 2003年10月12日 一、选择题 本题共有6小题,每题均给出(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。 1. 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】(  )2. 设那么直线和曲线的图形是【答】(  )的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A,B两点,弦AB的中垂线与轴交于P点,则线段PF的长等于 【答】(  ) (B) (C) (D) 4. 若则的最大值是 (A) (B) (C) (D) 【答】(  )在区间内,且则函数的最小值是 (A) (B) (C) (D) 【答】(  ),直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于 【答】(  ) (B) (C) (D) 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。 7.不等式的解集是______________ 8.设是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则的面积等于_____________. 9. 已知 若,则实数的取值范围是_____________. 10. 已知均为正整数,且若,则____________. 11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于________. 12.设 是中元素的个数,是中所有元素的和,则________. 三、解答题 (本题满分60分,每小题20分) 13. 设 证明不等式 14.设A,B,C分别是复数(其中都是实数)对应的不共线的三点. 证明:曲线 与中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片,使圆周上某一点刚好与A点重合. 这样的每一种折法,都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有的点时,求所有折痕所在直线上点的集合. 2003年全国高中数学联赛加试试题 第二试 一、(本题满分50分) 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点,C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使 求证: 二、(本题满分50分) 设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值. 三、(本题满分50分) 由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形,其中已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有条连线段. 证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形) 2003年全国高中数学联赛第一试参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C B A C D B 提示: 注意到,,故; 题设方程可化为和,观察图形可知; 易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后,令y=0,得点P的横坐标即PF=; 原函数可化为,可以证明函数在已知的区间上为增函数,故当时,y取最大值; 消去y之后可得:,用基本不等式可求得函数u的最小值; 可用等积法求得,过程略。 二、填空题 7. . 提示: 原不等式可以化为: 8. 4 是直角三角形,故的面积为; 9. 提示:,令,,则只需在(1,3)上的图象均在x轴的下方,其充要条件是,由此推出; 10.93 提示: 由已知得,,又 ,故,推得,; 11. 提示:如图,上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点,且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱,同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2, , ,求得 ,故所求的高为 ; 12. 提示

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