同济六版高等数学第八章第六节课件.pptVIP

§8.6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 作业 P49 3,7,11 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 上页 下页 铃 结束 返回 首页 分析： 点M在直线L上?点M同时在这两个平面上, ?点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 空间直线可以看作是两个平面的交线. 设直线L是平面?1和?2的交线, 平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 这就是空间直线的一般方程. 来表示. 那么直线L可以用方程组 首页 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L的位置就完全确定了. 确定直线的条件 下页 直线的对称式方程 求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)//s , 从而有 这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程. 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 下页 注 通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程: 直线的参数方程 此方程组就是直线的参数方程. 下页 提示： 先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s. 提示： 提示： 提示： 于是(1, -2, 0)是直线上的一点. 在直线的一般方程中令x=1, 解 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s: ?4i-j-3k. s?(i+j+k)?(2i-j+3k) 可得y=-2, z=0. 所给直线的对称式方程为 下页 例1 所给直线的参数方程为 x?1?4t? y??2?t? z??3t ? 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j满足 下页 方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦: 例2 解 两直线的方向向量分别为 设两直线的夹角为j , 则 (1, -4, 1)和(2, -2, -1). 下页 两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 ? L2?m1m2+n1n2+p1p2=0; 则 首页 方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦: 提示： 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90?. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足 下页 方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足 直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量为 n=(A, B, C), 则 L//P ? Am+Bn+Cp=0. 下页 例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程. 平面的法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为 首页 解 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量