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高中理科数学解题方法篇(立体几何2).doc
高 考 立 体 几 何
常考与方法:
1.求异面直线所成的角:
解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线平行;
三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角;
2求直线与平面所成的角:关键找“两足”:垂足与斜足
解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用);二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。
3求二面角的平面角
解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证:证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法); 三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。
常考点一:三视图
1.若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是
常考点二: 体积、表面积、距离、角
1. 如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为_____________.
2.如上图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面AB C1D1的距离为__________________.
3.已知是球表面上的点,,,,
,则球表面积等于____________.
常考点三: 平行与垂直的证明
1. 正方体,,E为棱的中点.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
常考点四: 异面直线所成的角,线面角,二面角
1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD.求证:(1)平面PAC⊥平面PBD;
(2)求PC与平面PBD所成的角;
常考点五: 线面、面面关系判断题
1.已知直线l、m、平面α、β,且l⊥α,mβ,给出下列四个命题:
(1)α∥β,则l⊥m (2)若l⊥m,则α∥β
(3)若α⊥β,则l∥m (4)若l∥m,则α⊥β
其中正确的是__________________.
高考题
1. (2011年高考山东卷理科19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠?ACB=,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;
(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
2.(2011年高考浙江卷理科20)如图,在三棱锥中,,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-β为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。
,
,由此可得,所以
,即
(II)解:设
设平面BMC的法向量,
平面APC的法向量
由
得
即
由即
得
由
解得,故AM=3。
综上所述,存在点M符合题意,AM=3。
方法二:
(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得
又平面ABC,得
因为,所以平面PAD,
故
(II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,
由(I)中知,得平面BMC,
又平面APC,所以平面BMC平面APC。
在
在,
在
所以
在
又
从而PM,所以AM=PA-PM=3。
综上所述,存在点M符合题意,AM=3。
3.(2011年高考辽宁卷理科18)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(II)求二面角Q-BP-C的余弦值.
18.解:
如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
(I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
则
所以
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分
(II)依题意有B(1,0,1),
设是平面PBC的法向量,则
因此可取
设m是平面PBQ的法向量,则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分
4.(2011年高考安徽卷理科17)如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,,△,△,△都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线∥;(II)求棱锥F-OBED的,OB=,OG=OD=2
同理,设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG′=OD=2,
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