函数单调性讲义.doc

知识梳理 1函数单调性的定义 对于函数f x 的定义域内某个区间上自变量的任意两个值x1,x2. 1 若当x1 x2时，都有f x1 f x2 则称f x 在这个区间上是增函数； 2 若当x1 x2时，都有f x1 f x2 ，则称f x 在这个区间上是减函数. 2. 函数的单调区间 若函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 ，则就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性，这一区间叫做函数y f x 的单调区间 . 此时也说函数f x 是这一区间上的单调函数. 3证明函数单调性的一般方法 1 定义法 用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是： ①设x1,x2是给定区间内的任意两个值 ，且x1 x2； ②作差f x1 -f x2 ； ③将差式变形 要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出 ； ④判断f x1 -f x2 的正负 . 要注意说理的充分性 ； ⑤根据f x1 -f x2 的符号确定增减性 , 即下结论. 概括为：取值——作差——变形——定号——下结论. 2 用导数证明 设f x 在某个区间 a,b 内有导数，若f x 在区间 a,b 内，总有f’ x 0 f’ x 0 ，则f x 在区间 a,b 上为增函数 减函数 ；反之，若f x 在区间 a,b 内为增函数 减函数 ，则f’ x ≥0 f’ x ≤0 4.求单调区间的方法 定义法、导数法、图象法 5.复合函数y f［g x ］在公共定义域上的单调性的判断 对于函数y f u 和u g x ，如果u g x 在区间 a,b 上是具有单调性，当x∈ a,b 时，u∈ m,n ，且y f u 在区间 m,n 上也具有单调性，则复合函数y f g x 在区间 a,b 〖JP〗具有单调性的规律见下表： y f u 增↗ 减↘ u g x 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ y f g x 增↗ 减↘ 减↘ 增↗ 以上规律还可总结为：“同增异减” 2.已知函数f x 为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 C  A. -1，1 B. 0，1 C. -1，0 ∪ 0,1 D. -∞,-1 ∪ 1,+∞ 3.下列函数f x 中，满足“对任意x1,x2∈ 0,+∞ ,当x1＜x2时，都有f x1 ＞f x2 ”的是 A  A.f x 1/x B.f x x-1 2 C.f x ex D.f x ln x+1 例题1：判断并证明函数 a∈R,a是常数 的单调性. 解析： 例题2：讨论函数在 0,+∞ 上的单调性。 解析： 题型二：复合函数的单调区间的确定 例题1. （1）求函数的单调区间 2 已知f x 8+2x-x2,若g x f 2-x2 ，试确定g x 的单调区间和单调性. （1）解析： （2）解析： 例题2. 2009年佛山一中月考 函数 的单调递减区间是_______，单调递增区间是_______。 解析： 所以： 1 当x∈ -∞,-3］时,函数u为关于x的减函数,而y为关于u的增函数,∴y为关于x的减函数,区间 -∞,-3］为函数f x 的单调递减区间. 2 当x∈［2,+∞ 时,函数u为关于x的增函数,而y为关于u的增函数,∴y为关于x的增函数,区间［2,+∞ 为函数f x 的单调递增区间. 综上知,函数f x 的单调递减区间是 -∞,-3］,单调递增区间是［2,+∞ . 答案： -∞,-3］ ［2,+∞ 题型三：带参数函数的单调性问题 例题1.函数 在［1,+∞ 上是增函数，求a的取值范围. 法一： 法二： 用导数法求解 1.在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意 一是先求定义域，单调区间是定义域的子集. 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“∪”和“或”. 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． 四是要注意函数单调性与奇偶性的逆用. ①比较大小；②解不等式；③求参数范围  2.确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧 1 在解答题中常用：定义法、导数法; 2 在选择、填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y ax+b/x a 0，b 0 型函数的图象和单调性在解题中的运用： 3 复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减. 3.一些有用的结论 1 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3 在