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达标训练
基础?巩固
1如图28.221,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点处测得标志物的仰角为45°,若点D到电线杆底部点B的距离为a,则电线杆AB的长可表示为( )图28.221
A.a B.2a C. D.
思路解析:直接用等腰直角三角形的性质.
答案:B2.如图28.222,梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3,坝高BC为2米,则斜坡AB的长是( )
图28.222
A.米B.米C.米D.6米
思路解析:坡度的定义,所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.
答案:B3.AE、CF是锐角△ABC的两条高,如果AE∶CF=3∶2,则sinA∶sinC等于( )A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
思路解析:画出图形,在Rt△AFC中,sinA=;在Rt△AEC中,sinC=.所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.答案:B4.如图28.223,等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=.
图28.223
思路解析:等腰三角形顶角平分线垂直平分底边,Rt△ADC中,AC=10,∠DAC=60°.
答案:55.如图28.224是一口直径AB为4米,深BC为2米的圆柱形养蛙池,小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮,则它们看见月亮的最大视角∠COD=度(不考虑青蛙的身高).
图28.224
思路解析:在Rt△OBC中,OB=OC,可以得到∠BOC=45°,所以∠COD=2∠BOC=90°.
答案:90°6.如图28.225,小勇想估测家门前的一棵树的高度,他站在窗户C处,观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上,小勇测得树底B的俯角为60°,并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖,因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米,请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米?(结果保留1位小数)
图28.225
思路解析:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠BCA=60°,AC=3米,用正切函数关系求出AB的长.
解:如图,在Rt△ABC中,AC=BD=3米,tan∠BCA=,
所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2 (米).
答:树的高度AB约为5.2米.综合?应用
7如图28.226,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米,点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留一位小数).
图28.226
思路解析:作出气球离地面的高度,构成了直角三角形,利用直角三角形求解.
解:作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,所以AD=CD=x.
在Rt△CBD中,∠CBD=60°,所以tan60°=,BD=.
因为AB=AD-BD,所以20=x-解得x≈47.3(米).
答:气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长,如图28.227所示,A、D是人工湖边的两座雕塑,AB、BC是湖滨花园的小路,小东同学进行如下测量,B点在A点北偏东60°方向,C点在B点北偏东45°方向,C点在D点正东方向,且测得AB=20米,BC=40米,求AD的长. (结果精确到0.01米)
图28.227
思路解析:作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.
解:过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为E、F.由题意,知AD⊥CD.
因为四边形BFDE为矩形,所以BF=ED.
在Rt△ABE中,AE=AB×cos∠EAB,
在Rt△BCF中,BF=BC×cos∠FBC,
所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+,
即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.228,城市规划期间,要拆除一电线杆AB,已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝,背水坡的坡度i=2∶1,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°,D、E之间是宽为2米的人行道.请问:在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上,以点B为圆心,以AB长为半径的圆形区域为危险区域).
图28.228
思路解析:有没有必要将此人行道封上,就要看电线杆倒下时,能不能到达人行道上,若AB>BE,则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长,利用30°仰角这个条件,可以在点C处作CH⊥AB,在Rt△AHC中解直角三角形.
解:在拆除电线杆AB时,不需要将此人行道封上.理由如下:
作CH⊥AB,垂足为H
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