- 1、本文档共221页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
考研强化班概率论与数理统计讲义
第1讲 随机事件和概率
1.1知识网络图
1.2重点考核点的分布
(1)样本空间与随机事件.
*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式).
*(3)条件概率与概率的乘法公式.
**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性).
**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式.
(6)伯努利(Bernoulli)概型.
各个考核点前面加“**”表示重点考核点;“*”表示次重点考核点;括号前没有标注的表示一般考核点(下同).
1.3课上复习内容
1.3.1预备知识
在复习“概率论”之前,我们需要掌握“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容,下面将有关内容作一简单介绍:
1.3.1.1 二值集合
集合是一个不能给出数学定义的概念,尽管如此,我们仍然可以给它一个定性描述.所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体.构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素.
集合通常用大写字母A,B,C表示,其元素用小写字母a,b,c表示.
设A是一个集合,如果a是A的元素,记作a∈A,用“1”表示这一隶属关系;如果a不是A的元素,记作aA(或aA),用“0”表示这一隶属关系.
因此,我们称这种集合为“二值集合”,在初等概率论中,我们只研究这样的集合.
有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论,这里不再重复.下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍.
例1 设A={2,4,8},则集合A的所有子集是,{2},{4},{8},{2,4},{2,8},{4,8},{2,4,8}.注意,在考虑集合A的所有子集时,不要把空集和它本身忘掉.
设A,B是两个集合.如果AB,BA,那么称集合A与B相等,记作
A=B.
很明显,含有相同元素的两个集合相等.
例2 设A={0,2,3},B={x|x为方程x3-5x2+6x=0的解},则A=B.
设A,B是两个集合.如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素,反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素,那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系,并称A与B等价,记作
A~B.
与自然数集N等价的任何集合,称为可列集.显然,一切可列集彼此都是等价的.今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个),并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个).
例3 设A={a|a=2n,n∈N},B={b|b=n2+1,n∈N},则A~B.
由上面的讨论可以看出,集合的分类如下:1.3.1.2 组合分析中的几个定理
1.加法原理
定理1 设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中的一种方法,这件事就可以完成.若第一类方法有m1种,第二类方法有m2种,……,第n类方法有mn种,并且这m1+m2+…+mn种方法里,任何两种方法都不相同,则完成这件事就有m1+m2+…+mn种方法.
2.乘法原理
定理2 设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……第n步有mn种方法,并且完成这件事必须经过每一步,则完成这件事共有m1m2…mn种方法.
3.排列
定义1 从n个不同元素中,每次取出m个元素,按照一定顺序排成一列,称为从n个元素中每次取出m个元素的排列.
定理3 从n个不同元素中,有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列),共有nm种不同的排列.
例4 袋中有N个球,其中M个为白色,从中有放回地取出n个:
①N=10,M=2,n=3;②N=10,M=4,n=3.
考虑以下各事件的排列数:
(Ⅰ)全不是白色的球.(Ⅱ)恰有两个白色的球.
(Ⅲ)至少有两个白色的球.(Ⅳ)至多有两个白色的球.
(Ⅴ)颜色相同.(Ⅵ)不考虑球的颜色.
答案是:①当M=2时,
(Ⅰ)(Ⅱ)3×22×8. (Ⅲ)3×22×8+23.
(Ⅳ)3×22×8+3×2×83+83(或103-23). (Ⅴ)23+83. (Ⅵ)103.
②当M=4时,将上面的2→4,8→6即可.
分析这是一个可重复的排列问题.由定理3,可求出其排列数.
问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8,而不是1倍或6倍的?提示根据加法原理.定理4 从n个不同元素中,无放回地取出m个(m≤n)元素进行排列(简称为选排列)共有 提供 联系QQ:268019001
种不同的排列.选排列的种数用(或)表示,即
特别地,当m=n时的排列(简称为全排列)共有
(n-1)(n-2)·…·3·2·1=n!
种不同排列.全排列的种数用Pn(或)表示,即
并规定0!=1.
4.组合
定义2 从n个不同元素中,每次取出m个元素不考虑其先后顺序作为一组,称为从n个元素中每次取出m个元素的
文档评论(0)