第三章 函数（映射与函数函数的单调性和奇偶性一元二次函数）.docVIP

映射、函数、单调性和奇偶性小复习 【知识讲解】 1．映射：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则f。其中集合A和B是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射。而对于集合A和B的元素是什么，映射的定义未作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象。 一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：（1）集合A中的每一个元素（一个不漏地）在集合B中都有象（但集合B中的每一个元素不一定都有原象）——任意性；（2）集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个（集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个）——唯一性。 集合A到集合B的映射有两种形式：（1）一一对应；（2）多对一；“注意一对多则不是映射。” 给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 一一映射：一般地，设A、B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。 2．函数：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数。记作y=f（x）x∈A，y∈B。原象的集合A叫做函数y=f（x）y=f（x）a,b]，开区间（a,b），半开闭区间（a,b][a,b）的含义。 3．函数的单调性：如果函数y=f（x）y=f（x）y=f（x）x1，x2，当x1x2时，都有f（x）f（x）f（x）x1，x2，当x1x2时，都有f（x）f（x）f（x）f（x）x都有f（x）f（x）f（x）f（x）x都有f（x）f（x）f（x）f（x）f（x）y轴对称。 【例题解析】 例1．下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？ 解：能构成集合A到B的映射有：（1）（3），其中（3）又是A到B上的一一映射。（2）不满足“任意性”。（4）不满足“唯一性”故不能构成映射。 例2．已知集合A={1,2,3,m}，（mN）4,7,n4,n2+3n}，（nN）x∈a，y∈B，“f：x→y=3x+1”是集合A到集合B的映射，求m，n的值。 解：∵4=3×1+1 . 7=3×2+1 由又m,n∈N，∴方程组无解 由又m,n∈N，解得。 例3．已知A=N*，B={}映射f:x→y=，（x∈A，y∈B），求在映射f的作用下，象的原象。 解：设原象为x，由=，解得x=50 例4．求下列函数的定义域。 （1）y= （2）y=（2-5x）0+ y= （4）y= 解：（1）由10x-x2-21≤0，得3≤x≤7 ∴函数的定义域为[3，7] （2）由解得x≥且x≠ ∴函数的定义域是[，）∪（，+∞） （3）由 ∴函数的定义域是[-2，0] （4）由 ∴函数的定义域是（-∞，-11）∪（-11，-3]∪（5，+∞）。 例5、求下列函数的值域 （1）y= （2）y=x2-2x+3, x∈[2,3] （）y=2x- y= 解：（1）y==- ∴y≠- 值域为（, -）-, +∞） （2）y=（x-1）2+2, x∈[2,3], 当x=2时, y有最小值3; 当x=3时, y有最大值6, ∴函数值域为[3, 6] （3）设 （t≥0） 则x=t2+1 ∴y=f（x）=g（t）=2（t2+1）-t=2（t-）2+ t≥0） 当t=时, y有最小值, ∴函数值域为[, +∞] （）yx2+（y-2）x+y=0, x∈R, 该方程有实根, 从而有-2≤y≤且y≠0；或y=0这时x=0 所以该函数的值域为[-2，]。 例6、判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f（x）=x–3+ （2）f（x）=x4-x–2+2 （3）f（x）= （4）f（x）=（x-1） （1）f（x） =x–3+（-, 0）（0, +） f（-x）=（-x）-3+=-x-3+=-x-3+=-f（x） f（x）= x–3+（2）f（x）=x4-x–2+2f（-x）=（-x）4-（-x）–2=x4-x–2+2=f（x） f（x）=x4-x–2+2（3）f（x）（-, 0）（0, +）x0时，-x0 ∴f（-x）=