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第三章 函数(映射与函数函数的单调性和奇偶性一元二次函数)
映射、函数、单调性和奇偶性小复习
【知识讲解】
1.映射:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
集合A到集合B的映射有三个要素,即集合A、集合B和对应法则f。其中集合A和B是有先后顺序的,因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射。而对于集合A和B的元素是什么,映射的定义未作具体要求,它们的元素可以是数,可以是点,也可以是其他对象。
一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射:(1)集合A中的每一个元素(一个不漏地)在集合B中都有象(但集合B中的每一个元素不一定都有原象)——任意性;(2)集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个(集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个)——唯一性。
集合A到集合B的映射有两种形式:(1)一一对应;(2)多对一;“注意一对多则不是映射。”
给定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈B,如果元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象。
一一映射:一般地,设A、B是两个集合,f:A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
2.函数:如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数。记作y=f(x)x∈A,y∈B。原象的集合A叫做函数y=f(x)y=f(x)a,b],开区间(a,b),半开闭区间(a,b][a,b)的含义。
3.函数的单调性:如果函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)x1,x2,当x1x2时,都有f(x)f(x)f(x)x1,x2,当x1x2时,都有f(x)f(x)f(x)f(x)x都有f(x)f(x)f(x)f(x)x都有f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)y轴对称。
【例题解析】
例1.下面给出的四个对应中,能构成映射的有哪些?
解:能构成集合A到B的映射有:(1)(3),其中(3)又是A到B上的一一映射。(2)不满足“任意性”。(4)不满足“唯一性”故不能构成映射。
例2.已知集合A={1,2,3,m},(mN)4,7,n4,n2+3n},(nN)x∈a,y∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A到集合B的映射,求m,n的值。
解:∵4=3×1+1 . 7=3×2+1
由又m,n∈N,∴方程组无解
由又m,n∈N,解得。
例3.已知A=N*,B={}映射f:x→y=,(x∈A,y∈B),求在映射f的作用下,象的原象。
解:设原象为x,由=,解得x=50
例4.求下列函数的定义域。
(1)y= (2)y=(2-5x)0+
y= (4)y=
解:(1)由10x-x2-21≤0,得3≤x≤7 ∴函数的定义域为[3,7]
(2)由解得x≥且x≠
∴函数的定义域是[,)∪(,+∞)
(3)由
∴函数的定义域是[-2,0]
(4)由
∴函数的定义域是(-∞,-11)∪(-11,-3]∪(5,+∞)。
例5、求下列函数的值域
(1)y= (2)y=x2-2x+3, x∈[2,3]
()y=2x- y=
解:(1)y==- ∴y≠-
值域为(, -)-, +∞)
(2)y=(x-1)2+2, x∈[2,3], 当x=2时, y有最小值3;
当x=3时, y有最大值6, ∴函数值域为[3, 6]
(3)设 (t≥0) 则x=t2+1
∴y=f(x)=g(t)=2(t2+1)-t=2(t-)2+ t≥0)
当t=时, y有最小值, ∴函数值域为[, +∞]
()yx2+(y-2)x+y=0, x∈R, 该方程有实根,
从而有-2≤y≤且y≠0;或y=0这时x=0
所以该函数的值域为[-2,]。
例6、判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x–3+ (2)f(x)=x4-x–2+2
(3)f(x)= (4)f(x)=(x-1)
(1)f(x) =x–3+(-, 0)(0, +)
f(-x)=(-x)-3+=-x-3+=-x-3+=-f(x)
f(x)= x–3+(2)f(x)=x4-x–2+2f(-x)=(-x)4-(-x)–2=x4-x–2+2=f(x)
f(x)=x4-x–2+2(3)f(x)(-, 0)(0, +)x0时,-x0
∴f(-x)=
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