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第十一周课堂练习答案
′ x cos x −sin x ′
1、f x = 2 , 令g x = x cos x − sin x , 又g x = −x sin x 0
x
′ g (x )
所以g x g 0 = 0, 所以f x = 2 0, 所以f x 单调下降。
x
′ ′′ 1
2、令f x = xlnx, 所以f x = 1 + lnx, f x = 0, 即为下凸函数
x
so f x + y ≤ f x + f y , so (x + y)ln x + y ≤ xlnx + ylny
2 2 2 2
3、由f’’(x)0, 所以f(x)是下凸函数。所以n=2 时情况成立。
n x i x n +1 +nA n f x n +1 nf (A n ) n +1 x i
i =1 i =1
若n 时成立，令An = n , 所以f An +1 = f n +1 ≤ n +1 + n +1 ≤ n +1
′ ′′
4、(1)假如y(x)有正的最大值，不妨设为y(x )0, 则有y x = 0, y x ≤ 0
0 0 0
′′
带入上式有y x0 + c x0 y x0 0, 矛盾，即不存在正的最大值。（剩下的同理可证）
(2)注：需加上原函数连续的条件。
设y(x)在闭区间上的最大值为M，最小值为m，则有M ≤ 0 ≤ m ，所以M = m = 0
所以y(x)=0;
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