算法设计习题.docVIP

作业 证明下列Ο、Ω和Θ的性质 f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f) 证明：充分性。若f=Ο(g)，则必然存在常数c10和n0，使得(n(n0，有f( c1*g(n)。由于c1(0，故g(n) ( 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。 必要性。同理，若g=Ω(f)，则必然存在c20和n0，使得(n(n0，有g(n) ( c2 *f(n).由于c2(0，故f(n) ( 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。 若f=Θ(g)则g=Θ(f) 证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c10，c20和n0，使得(n(n0，有c1*g(n) (f(n) ( c2*g(n)。由于c1(0，c2(0，f(n) (c1*g(n)可得g(n) ( 1/c1*f(n)，同时，f(n) (c2*g(n)，有g(n) ( 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) (g(n) ( 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。 Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。 证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c10，和n1，使得(n(n1，有 F(n) ( c1 (f(n)+g(n)) = c1 f(n) + c1g(n) ( c1*max{f,g}+ c1*max{f,g} =2 c1*max{f,g} 所以，F(n)= Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g)) 对于Ω和Θ同理证明可以成立。 log(n!)= Θ(nlogn) 证明： (由于log(n!)= (=nlogn，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。 (由于对所有的偶数n有， log(n!)= ((((n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。 当n(4，(nlogn)/2-n/2((nlogn)/4，故可得(n(4，log(n!) ((nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。 综合以上两点可得log(n!)= Θ(nlogn) 设计一个算法，求给定n个元素的第二大元素，并给出算法在最坏情况下使用的比较次数。（复杂度至多为2n-3） 算法： Void findsecond(ElemType A[]) { for (i=2; i=n;i++) if (A[1]A[i]) { temp=A[1]; A[1]=A[i]; A[i]=temp; } for (i=3; i=n;i++) if (A[2]A[i]) { temp=A[2]; A[2]=A[i]; A[i]=temp; } return A[2]; } 该算法使用的比较次数为：2n-3 设计一个算法，求给定n个元素的最大和最小元素。（要求算法的复杂度至多为1.5n） 算法： void Maxmin2(A;l,r;int x;int y); { if (l=r) { x=A[l]; y=A[r]; return;} if (r-l=1) { if (A[l]A[r]) { x=A[l]; y=A[r];} else { x=A[r]; y=A[l];} return; } else { mid=(l+r) div 2; Maxmin2(A,l,mid,x1,y1); Maxmin2(A,mid+1,r,x2,y2); x=min(x1,x2); y=max(y1,y2); } } 该算法使用的比较次数为：1.5n-2 给定多项式p(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0，假设使 p=a0; xpower=1; for (i=1; i=n; i++) { xpower=x * xpower; p=p+ai * xpower; } 求（1）该算法最坏情况下使用的加法和乘法分别为多少次？ （2）能不能对算法的性能进行提高？ 解：（1）该算法最坏情况下使用的加法n次，乘法2n次 （2）改进的算法为： float Horner(A, float x) { p=A[n+1]; for (j=1; j=n; j++) p=x*p+A[n-j]; return p; } 该算法中使用加法n次，乘法n次 第二章 1．求解下列递推关系： 1）当n≥1时，f(n)=3f(n-1)；f(0)=5 解：f(n)=3f(n-1)=32f(n-2