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轴强度校核中高等数学的应用 班级：机设11-2班 姓名： 王荣 学号：2011022584 一、横截面上的切应力 　　实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布　　导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系 ShowPositionControls=0 ShowControls=1 invokeURLs=-1 volume=50 AutoStart=0 ShowStatusBar=1 为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系　　利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式　　实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变　　扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力1.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变　或　　因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比　p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径 　上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律　　　由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应 3.静力学方面 前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。所以一般情况下还不能计算τp的大小现利用静力学关系求T 　τpdA为作用在横截面上微面积dA范围内的切应力所构成的切向力，距圆心距离p将 代入 　　为横截面的极惯性矩，是截面的几何性质，它与截面的几何形状、尺寸有关单位：mm4或m4　将 代入 得 这样就把扭转角与横截面上的扭矩联系起来了，从而可以求出等直圆杆受扭时横线面上任一点的切应力.切应力计算公式将　 代入 得　为了计算简便常用来表示　可表示为　为抗扭截面系数，也是横截面的几何性质，单位为mm3或m3二、极惯性矩和抗扭截面系数1.极惯性矩Ip ShowPositionControls=0 ShowControls=1 invokeURLs=-1 volume=50 AutoStart=0 ShowStatusBar=1 计算实心圆截面和空心圆截面杆的Ip时，注意到横截面内同一圆周上各点到圆心距离p相同，故可取厚度dp为薄圆环作为微面积。这样公式中的dA就是薄圆环　a.实心圆截面　　　b.空心圆截面　　　式中　　2.截面抗扭截面系数　a.实心圆截面　　　　b.空心圆截面　式中 三、扭转角　单位长度上的扭转角以θ表示 ShowPositionControls=0 ShowControls=1 invokeURLs=-1 volume=50 AutoStart=0 ShowStatusBar=1 dφ为代表相距dx的两个横截面的相对扭转角，若相距l的两横截面的相对扭转角　若T为常量，GIp也为常量时，则　　扭转角φ单位为弧度，φ与Tl成正比，与GIp成反比。即GIp越大则扭转角越小，所以又称GIp为扭转刚度四、斜截面上的应力 对于拉压杆我们用斜截面将杆件假想切开研究斜截面上的应力。对于受扭杆件，由于横截面上的应力非均匀分布，因此上法不能采用必须围绕杆件中需要研究的斜截面上应力的点切出一个单元体加以分析 ShowPositionControls=0 Sh