2015中考数学动点问题解析.docVIP

2015中考数学动点问题解析 1.（2014?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． （1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1， ∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）2﹣1，； ∴抛物线为；（3分） （2）相交． 证明：连接CE，则CE⊥BD， 当时，x1=2，x2=6． A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4， ∴OB=2，AB==，BC=4， ∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°， ∴△AOB∽△BEC， ∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分） （3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分） 设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）； ∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m． ∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+； ∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．（10分） （1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________； （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？ 图1 ◆满分解答：（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为： （2）①当M在OC上，Q在AB上时，在Rt△OPM中，OP＝t，，所以． 在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以． 于是．因此． ②当M在OC上，Q在BC上时，． 因为，所以．因此． ③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得． 因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，． 所以． 图2 图3 图4 （3）①当时，． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，所以当时，S最大，最大值为． ②当时，．因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．③当时，．因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．综上所述，当时，S最大，最大值为． ◆考点伸展：第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？ 此时， ．因此． ◆强化训练 1.(2012年连云港市中考第26题)如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点． （1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1 2.(2013年菏泽市中考第21题)如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 图1 3. (2014年山东烟台)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图Z10-6，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；(2)如图Z10-6，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图Z10-6，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图Z10-6，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草