数学物理方程--课件.pptVIP

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§1-2 达朗贝尔(d’Alembert)公式、波的传播 1. 叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。 在物理学研究中经常出现这样的现象:几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独(假设其他原因不存在)产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说,都是成立的。 例如:若u1(x, t)是方程 的解,而u2(x, t)是方程 的解,则对于任意的常数C1、C2,函数 是方程 的解。 典型例子:声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。 2. 弦振动方程的达朗贝尔解法 为了考察波动方程的定解问题,先从最简单的情形入手,即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体(弦线)长度很长,而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况,那么边界条件的影响就可以忽略,并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下,定解问题归结为如下形式: 在这个定解问题中,定解条件只有初始条件,故通常称为初值问题(也称柯西(Cauchy)问题)。相应地,前一节中的定解问题(1.19)~ (1.22)由于既有初始条件,又有边界条件,故称为初边值问题或混合问题。 方程(2.5)中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的,因此方程(2.5)中f(x,t)恒为零的情况对应于自由振动;f(x,t)不为零的情况对应于强迫振动。 下面,我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题,同样存在叠加原理,即若u1(x, t)和u2(x, t)分别是下述初值问题 和 的解,那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值问题(2.5)、(2.6)的解。这样求解初值问题(2.5)、(2.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(II) 单独初始振动状态对振动过程的影响。 单独考虑外力因素对振动过程的影响。 首先,考察初值问题(I),它可以通过自变量变换的方法求解。 引入新自变量:ξ=x-at, η=x+at,有 类似地, 代回原来的自变量,得通解为 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) (2.14) 从而,得到 其通解为 u(ξ,η)=F(ξ)+G(η),其中,F和G是任意可微分的单变量函数。 利用这个通解表达式,就可以利用初始条件(2.8)来决定函数F和G,进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(2.8),得到: (2.16)式是一个简单的常微分方程,求解它得到 由(2.15)和(2.17)式联立求解可以得出函数F和G 把它们代入方程(2.7)的通解表达式(2.14)就得到了初值问题(I)的解 这个公式(2.19)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出:如果初值问题(I) 有解,则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来,因此该问题的解是唯一的。 同时,若函数φ(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数,ψ(x)在求解区域内具有一阶连续偏导数,那么可以验证公式(2.19)给出的的确是初值问题(I)的解。存在性 另外,初值问题(I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。稳定性 定理2.1 设 ,那么初值问题(2.7),(2.8)存在唯一的 解u(x,t),它由达朗贝尔公式(2.19)给出。 如右图所示,在t=0时, ?(x,0)=F(x),它对应于初始振动状态(弦在初始时刻各点位移状态)。经过时刻t0后, ?(x,t0)=F(x-at0),在(x,u)平面上 ,它相当于原来的图形向右平移了一段距离at0。这说明振动的波形以常速度a向右传播。因此,齐次波动方程的形如F(x-at)的解所描述的运动规律称为右传播波,同样形如G(x+at)的解称为左传播波。并且,我们知道了方程(2.5)中的常数a实际上表示了波动的传播速度。(行波法) 3. 传播波 由前文中推导可见,自由振动情况下的波动方程的解可以表示为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性质。 考察?(x,t)=F(x-at) (a0),显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。 自己思考、讨论 4. 依赖区间、决定区域和影响区域 从达朗贝尔公式立即可以看出,初值问题(I)的解在上半平面 (t0)上点(x,t)处的值

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