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用均值不等式求最值的方法和技巧学生版
用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①当且仅当a = b时，“=”号成立；
②当且仅当a = b时，“=”号成立；
③当且仅当a = b = c时,“=”号成立；
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧
1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数的最小值。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
① ②
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y，求的最小值。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足，求的最小值。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数的最小值.
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知，且满足，求的最大值.
3、 裂项
例3 已知，求函数的最小值.
4、 取倒数
例4 已知，求函数的最小值.
5、 平方
例5 已知且求的最大值.
6、 换元（整体思想）
例6 求函数的最大值.
7、 逆用条件
例7 已知,则的最小值是（ ） .
8、 巧组合
例8 若且,求的最小值 .
9、 消元
例9、设为正实数，，则的最小值是.
练习： 1、试填写两个正整数，满足条件，且使这两个正整数的和最小。
2、试分别求：； 最大值。
3、求最小值。
总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。
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