统计学概念和方法-第12章.ppt

第12章 统计模拟计算方法 主要内容 Monte Carlo 方法 Monte Carlo方法在定积分中的应用 蒲丰（Buffon）投针试验 在古典概率问题中的应用 Monte Carlo方法在计算多重积分中的应用 1 Monte Carlo 方法 Monte Carlo方法,即随机模拟方法,就是用计算机模拟随机现象,通过仿真试验,得到实验数据,再进行分析推断,得到某些现象的规律,某些问题的求解. 例如,在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素.若要理论很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去.理想化的方法是在相同条件下将试验大量重复进行,采集到试验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律性.但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力.尤其当一个试验周期很长,或是一个试验是破坏性的试验时,通过试验采集数据几乎无法进行,此时计算机随机模拟的方法,即Monte Carlo方法,就是最简单、经济、实用的方法. Monte Carlo方法,源于第二次世界大战美国关于研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城———摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π.20世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能. 2 Monte Carlo方法在定积分中的应用 3 蒲丰（Buffon）投针试验 蒲丰投针是Monte Carlo方法最早的应用.18世纪下半叶，法国学者Buffon?（1707-1788）提出用试验方法求圆周率的值.原理如下： 假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机地投掷一根长度为L的针.则我们可以计算该针与任一平行线相交的概率. 经统计实验估计出概率 历史上曾有几位学者做过这样的试验的结果，如表1所示. 表1 n=10000;p={} Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[]; If[x^2+y^2=1,m++],{k,1,n}]; AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}]; Print[p]; Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 4 在古典概率问题中的应用 例1 甲乙两位棋艺相当，现他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负，现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？ 分析：平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配而甲拿大头. 实际上，因为比赛只需进行两局.则可分出胜负.结果无非是以下四种情况之一： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 上面四种情况可看出，甲获胜为3/4，乙获胜的概率为1/4 现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛.由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负的机会各半.可以在计算机程序中产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半，可以用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜.（也可以用中的随机实数来模拟两人的胜负，随机数大于0.5表示甲胜，否则乙胜）连续模拟1000次（或更多次数）每次模拟到甲乙两方乙有一方胜了三局为止.按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金. 模拟结果：甲：750，乙：250 最终以甲分到；乙分到.即甲750元，乙250元. Mathematic实现语句： 5 Monte Carlo方法在计算多重积分中的应用 The end 谢谢！ * 数学与信息科学学院 王 坤 TELfellowang@163.com 统计学概念和方法 31808 3408 0.83 1925 Lazzarini 3.15951 489 1030 0.75 1884 Fox 3.15665 1218 3204 0.60 1855 Smith 3.15956 2532 5000 0.80 1850 Wolf 估计值 相交次数 投针次数 针长l 时间（年） 试验者 Mathematica中模拟程序： 运行结果： {3.1244,3.1368,3.1544,3.1892,3.136,3.1604,3.1476,3.1484,3.1104,3.1472} 3.14041 100000 3.