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高考数学复习思想方法之五(转化与化归)
* 专题五 转化与化归的思想方法 知识概要 解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通 过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”. 专题五 转化与归纳的思想方法 2. 化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化. 除极简单 的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的. 从这个意义上讲,解决数学问题就是从未 知向已知转化的过程. 化归与转化的思想是解决数学问题 的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程. 数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向 简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化, 数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多 元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化, 函数与方程的转化等,都是转化思想的体现. 知识概要 专题五 转化与归纳的思想方法 3. 转化有等价转化和非等价转化. 等价转化前后是充要条件, 所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行 不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得 结论进行必要的验证. 知识概要 专题五 转化与归纳的思想方法 4. 化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题, 以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通 过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目 的,或获得某种解题的启示和依据. (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形 式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转 化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方 法符合人们的思维规律. (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直 观的问题来解决. (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使 问题获解. 专题五 转化与归纳的思想方法 5. 利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下: 知识概要 专题五 转化与归纳的思想方法 考题剖析 (2007·烟台模拟题)若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 1. C[解析]令f(x)=(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2- a3+a4)=f (1)·f(-1)=(2+ )4(-2+ )4=1, 所以选C. 专题五 转化与归纳的思想方法 [点评]本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题, 关键是要看清(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的结构特点,可 以分解因式,而分解因式后与前面式子联系起来看, 就不难转化为一个函数问题了. ? 考题剖析 专题五 转化与归纳的思想方法 2. C[解析]由原式可以变形为 , 即可以看作是动点(x, y)到点(-3,1)的距离与到定直 线x-y+3=0的距离之比为 ,故点M(x, y)的轨迹是双曲线. 考题剖析 专题五 转化与归纳的思想方法 2. (2007·云南昆明市质检题)若 则点M(x,y)的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 [点评]本题如果直接对原式进行变形,是有一定的运算量, 效率也不高,但将式子转化为这种公式 之后,它的 几何意义就凸现出来了,解题时要
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