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初中數学教师基本功比赛一等奖说题稿
初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿
中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点,它一般有动态问题、开放性题型探索性题型存在性题型,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在AD边上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
1.审题分析
本题涉及的知识点有:折叠问题;勾股定理;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;正方形的性质。本题通过翻折将全等变换,相似构造,勾股定理运用,融进正方形,不失一道好的压轴题,很值得推敲。由于此图形是正方形,因此里面隐含着很多直角,这是学生所不注意的地方,也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决,总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强,条件较分散,对学生分析问题的能力要求较高,因此难度较大,难度系数是0.19。
2.解题过程
同一个问题,从不同的角度探究与分析,可有不同的解法。一题多解,有利于沟通各知识的联系,培养学生思维的发散性和创造性。
思路与解法一:从线段AD上有三个直角这一条件出发,运用“一线三角两相似”这一规律(见课件),可将条件集中到△EAP与△PDH上,通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。
解法如下:
答:的周长不变,为定值8.
证明:设,则,有折叠可知,
,
又
又,~.
即
=
评析 这种解法用的是设而不求的方法,这也是解决几何问题的常规解法之一,解题过程中运用了勾股定理、相似,使解题思路明确,计算过程简洁。
思路与解法二:求△PDH的周长,因为PD、DH都在正方形的边上,所以需要将PH转化到正方形的边上进行解决,因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。
解法如下:
答:△PDH的周长不变,为定值8.
证明:如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q.
由(1)知APB=BPH,又BP=BP,
∴△ABP≌△QBP.∴AP=QP, AB=BQ.又∵ AB=BC,∴BC = BQ.
又BH=BH,∴△ BCH≌△BQH.∴CH=QH.
∴△PDH的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
评析 这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化,利用三角形全等的知识,得出线段把分散的问题集中到已知条件上来,从而做到了化未知为已知,使问题迎刃而解。
3.总结提升:
在原题的条件下,还可得以下结论:
⑴求证:;
⑵求证:;
⑶当时,则。
证明略。
评析 拓展提升题有助于学生巩固所学知识,提高思维能力,培养学生综合运用知识的能力,并有助于拓展思维,激发学生学习兴趣,从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。
逆向探究:如图1,现有一张边长为4的正方形纸片,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.的周长为8.求面积的最小值。
解: 设的面积为,则
.
由勾股定理得
即
整理得
化简得
(舍去)。
的最小值为
评析 加强逆向思维的训练,可改变思维结构,培养思维的灵活性、深刻性和双向性,提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造,以充分发挥学生的思考能力,训练其思维的敏捷性,从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。
像以上这种一题多解与一题多变的题例,在我们的教学过程中,如果有意识的去分析和研究,是举不胜举、美不胜收的。我想,拿到一个题目,如果这样深入去观察、分析、解决与反思,那必能起道以一当十、以少胜多的效果,增大课堂的容量,培养学生各方面的技能,特别是自主探索,创新思维的能力,也就无需茫茫的题海,唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题,象学生一样,不断追求新知,完善自己。
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