广东河源中学高一数学培优资料(周期性和对称性).docVIP

高一数学第十四周培优资料 函 数 对 称 性 的 探 究 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的基本性质，对称性不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这个方面来探讨函数与对称性有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 ?故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) ?（证明略） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 二、不同函数对称性的探究 定理3.函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 定理4.函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。f（x+a）＝f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，︱b－a︱是它的一个周期； 2.若f（x+a）＝－f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期； 3.若f（x+a）＝ （a≠0，且f（x）≠0）， 则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期. 四、对称性的几个结论 1.若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，特别地，若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称； 2.若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，特别地，若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 3.若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝ b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期； 4.若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期； 5.若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期. 五、三角函数图像的对称性列表 ? 函?数 ? 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2 y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无 ?注：上表中kZ 六、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（?? ） ?(A)是偶函数，也是周期函数?????? (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数??????? (D)是奇函数，但不是周期函数 解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10－x). f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A)????????? 例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， f (x) = － x，则