高三数学双曲线综合复习（二）（文）人教版知识精讲.docVIP

高三数学双曲线综合复习（二）（文）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 双曲线综合复习（二） 【典型例题】 [例1] 已知双曲线C的实半轴与虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为、，直线过且与直线的夹角为，，与线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且，求双曲线C的方程。 解：如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设双曲线C为（） ，则的方程为，P的坐标为（） 由 又点Q在双曲线上，将其代入双曲线方程得 又整理得解得或（舍去） 于是，又由已知，可得 故所求双曲线方程为 [例2] 如图，已知双曲线C：，若C的上半支的顶点为A，且与直线交于P，以A为焦点，M（）为顶点的开口向下的抛物线通过点P，当C的一条渐近线的斜率在区间上变化时，求直线PM斜率的最大值。 解：设直线PM的斜率是，双曲线方程为 其渐近线方程是，故 解之，得 双曲线与直线交点P位于第二象限，则 由双曲线方程可得A坐标为（0，1），又由M（） 故抛物线方程为 又由P（） 在抛物线上，则 由代入上式得 又，故 又，可解得 最大值为 [例3] 已知双曲线C：及直线：，且双曲线C1与双曲线C关于直线对称。 （1）求双曲线C1的方程； （2）若直线：与双曲线C1交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A（0，）为圆心的圆上，求的取值范围。 解： （1）设P（）为双曲线C1上一点，点P关于的对称点Q（） C1：，在C上，依题意 代入双曲线C中，并整理得，此即双曲线C1的方程 （2）设弦端点坐标分别为C（），D（） 由 由与C1有两个不同交点，则（*） 由韦达定理， 设CD中点M（）则 由代入（*）式得 ，或，故或 [例4] 设，曲线和有4个不同交点。 （1）求的取值范围； （2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。 解： （1）两曲线交点坐标（）满足方程组 有4个交点 又，故 （2）由（1）可知4个交点坐标满足方程 即将4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径 由在（0，）上单减，则 [例5] 将双曲线的中心沿直线向上方平移，同时保持对称轴平行于坐标轴，平移后的曲线C在直线上截得的弦长为。 （1）求曲线C的方程； （2）在：上任取一点M，以曲线C的焦点为焦点，过M作椭圆，M点的坐标为何值时，的长轴最短，并求此时椭圆的方程。 解： （1）设C的中心为C（）（），则曲线C的方程为 ， 由弦长为，则 整理得，则C： 另法，把问题等价转化为沿直线向下方平移直线 ，则平移后直线 即代入双曲线并整理得 利用韦达定理， 由弦长为，有 整理得，则双曲线C的中心为（） 故双曲线C： （2）依题意，的中心仍为点C，的焦距与双曲线C相同，设椭圆C的方程为 ，与联立，消去，得 由得， 故椭圆的方程为 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 焦点在（）和（4，3）的双曲线的一条准线方程为，则该双曲线的一条渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线与曲线有共同焦点，，P为两曲线的公共点，则的面积为 。 4. 已知曲线C：，一条长为8的弦，AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为 。 5. 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由。 （1）以原点O为焦点，以：为相应的准线； （2）双曲线上存在两点A、B关于直线：对称且。 试题答案 1. A 2. D 3. 4. 或 5. 解：设双曲线离心率为，设P（）在双曲线上， 则 设，作于，于 由O在AB中垂线上，则 由双曲线第二定义，有中点 又由 又由斜率为，倾斜角满足， 又由 故 由A在双曲线上，则 故双曲线存在，其方程为 整理，即 用心 爱心 专心