高三数学导数的应用（一）单调性与极值人教版知识精讲.docVIP

高三数学导数的应用（一）单调性与极值人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数的应用（一）单调性与极值 1. 函数的单调性 一般地，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数，如果在某个区间内恒有，则为常数。 2. 函数的极值 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，就称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有的点，都有就称是函数的一个极小值，记作。极大值和极小值统称为极值。 判别是极大（小）值的方法是： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。 导数为0的点不一定是极值点，例如函数，处的导数是0，但非极值点。 求可导函数的极值的步骤如下： （1）求导数 （2）求出方程的根 （3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。 【典型例题】 [例1] 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？ 解： 令，解得或 令，解得 故函数在和为增函数，在为减函数 [例2] 研究函数的单调性。 解： 当时，，则函数在（，）上是增函数 当时，，则在（，）上是增函数 当时，，则在（，）和（，）上是增函数，在（，）上是减函数。 [例3] 已知的单调区间。 解： （1）当时， 即，故在（0，）为减函数 （2）当时， 由解得 由解得 故函数在（，1）是减函数，在（1，）上是增函数。其图象如下 [例4] 已知（其中为常数）试求： （1）的极大值； （2）若的极大值为5，求的值； （3）曲线过原点的切线的方程。 解： （1），对一元二次函数，它的判别式 一元三次函数有极值的充要条件是有两相异实根，即，。 当时，设的两根， ，， 列表如下： （，） （，） （，） + 0 － 0 + 极大 极小 此函数当时取极大值 极大值为 ?? （2）令 故当时，取极大值5 （3）设切点P（，），曲线过P点的切线斜率为 切线方程为： 由切线过原点O（0，0），故 把代入切线方程，得切线方程为 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题： 1. 设为的极值点，则（ ） A. B.不存在 C. 或不存在 D. 存在但可能不为0 2. 下列命题正确的是（ ） A. 极大值比极小值大 B. 极小值不一定比极大值小 3. 三次函数当时有极大值4，当时有极小值0，且函数过原点，则该函数是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题： 4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是 。 5. 若函数与的图象有3个交点，则的范围是 。 试题答案 一. 1. C 2. B 3. B 提示：设， 则 二. 4.（，） 提示： ， 5.（，2） 提示： 故 用心 爱心 专心