高三数学抛物线复习（一）（文）人教版知识精讲.docVIP

高三数学抛物线复习（一）（文）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 抛物线复习（一） （一）抛物线基础知识 1. 定义： 平面内到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，若定点在定直线上，则轨迹为一条直线即过定点且与定直线垂直的直线。 2. 性质： 图形 标准方程 （） （） （） （） 焦点坐标 （） （） （） （） 准线方程 3. 直线与抛物线位置关系 把直线方程与抛物线方程联立得关于或的一元二次方程，利用判别式判定它们的位置关系。 【典型例题】 [例1] 已知抛物线（）上的一点，M到定点A（）和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程。 解： （1）当点A在抛物线内部时，即时， 当A、M、共线时 故，满足 所以抛物线方程为 （2）当点A在抛物线外部或在抛物线上时 即时，连AM交抛物线于M，此时 即， 或（舍） 抛物线方程 综上抛物线方程为或 [例2] 在抛物线上求一点P，使点P到直线的距离最短。 解法1：设P（）为抛物线上任意一点，则P到距离 由，则时， 解法2：设与平行的直线的方程为：（） 当与抛物线相切时，切点到的距离最短 将代入中得， [例3] 抛物线，过其焦点作一弦AB，如果弦长不超过8，且弦所在的直线与椭圆相交，试确定弦AB所在直线倾斜角的范围。 解：，焦点F（1，0），设弦AB所在直线的方程为代入 得，设A（），B（），则 由① 又 ② 由①、②得 [例4] 已知抛物线截直线所得弦长 （1）求的值； （2）设P在轴上的一点，且的面积为9，求P的坐标。 解： （1）由 由韦达定理， 由，即 （2）设P（），P到直线AB的距离为，则 又，则 或 故点P的坐标为（5，0）和（） [例5] 过点（）的直线与抛物线：相交于P、Q两点，R（），是一个等腰三角形，且，求直线的倾斜角。 解：设：（） 则 令，则 代入得 设P（），Q（），，是方程二根 则PQ中点M的坐标为 ∵ ∴ 垂直平分PQ 又MR方程为：，将M坐标代入此方程 得： 即 解得：或 代入中，使（舍） ∴ ， 的倾斜角为 [例6] 为何值时，直线：能垂直平分抛物线的某弦。 解：设直线垂直平分抛物线的弦AB，且A（），B（） 则，，相减得 即，又设M是AB的中点，且M（） 则 ∵ M在直线上 ∴ 又 ∵ M在抛物线的内部，即 ∴ 即就是 解得 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 1. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为 。 2. 抛物线上一点M（）到焦点距离等于6，则 。 3. 抛物线的动弦AB长为（），则弦AB的中点M到轴的最短距离是（ ） 4. 若抛物线（）上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是（ ） A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 成等差数列不成等比数列 D. 既不成等差数列，也不成等比数列 5. A、B是抛物线（）上的两点，满足，（O为坐标原点），求证：直线AB过定点，并求此定点。 试题答案 1. 或 2. 128 3. D 4. A 5. 证：设A（），B（），则， ① AB方程为 即 整理 即② 把①代入②得： 直线过定点（，0） 用心 爱心 专心