高三数学抛物线综合复习（二）（文）人教版知识精讲.docVIP

高三数学抛物线综合复习（二）（文）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 抛物线综合复习（二） 【典型例题】 [例1] 抛物线方程为，直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个交点； （2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求P关于的函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线的距离为，求此直线的方程。 解： （1）准线，直线与轴的交点为（），则，即 由 而 又及，则，得证。 （2）设Q（），R（），则， 由即，又Q、R为直线上的点 则， 于是 即 即 由 （3）抛物线的焦点， 于是 又 则， 但且，因而舍去故所求直线方程为 [例2] 若抛物线（）总存在不同两点关于直线上的点M对称 （1）求M的集合； （2）当点M处于何位置时，两对称点以及坐标原点组成的三角形面积最大，并求此最大值。 解： （1）设抛物线上的两点为P（），Q（）则 两式相减，得 即 即 由M在抛物线内部 * 则 故M的坐标满足 即M满足， 集合 （2），（利用弦长公式） 则 当，即时，， （*）法也可利用下述方法求：PQ： 即 由， [例3] 已知直线过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点A（）和B（0，8）关于的对称点都在C上，求直线和抛物线C的方程。 解：设抛物线方程为（）依题意，直线不是轴、轴 设直线的方程为（）设、分别是点A、B关于直线的对称点 则，直线的方程为 由 由点M为的中点，则 同理可求得 由点，在抛物线C上，其坐标满足方程 当时不合题意，故，直线： 由（由） 故抛物线C： [例4] 设抛物线过定点A（0，2），且以轴为准线 （1）试求抛物线顶点M的轨迹C的方程； （2）若点P（）不在线段上，那么取何值时，过点P存在一对相互垂直的直线同时与曲线C有公共点。 解： （1）设抛物线顶点M（）其中，由抛物线以轴为准线则焦点F（） 抛物线过定点A（0，2），由抛物线定义有 化简整理得抛物线顶点M的轨迹C的方程为（即不含原点） （2）设过点P（）的直线的方程为 由 消去并整理得 与C有公共点 若过点P存在一对相互垂直的直线同时与曲线C有公共点，则 有解，即有解 由P（）不在线段上，则 故，从而 故 故当或时，过P存在一对相互垂直的直线与曲线C有公共点。 [例5] 抛物线（）的准线和焦点分别是椭圆的左准线和左焦点，直线和椭圆、抛物线在第一象限交于点A和点B，已知A是OB中点。 （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆过点P（0，5），求椭圆和抛物线方程； （3）设椭圆短轴上端点为M，求M的轨迹方程。 解： （1）由（负舍） 则B（）而A为OB中点，则A（） 由抛物线准线方程，又抛物线与椭圆有相同的左焦点和左准线，故椭圆离心率为 （2）设椭圆方程为，把P（0，5）代入得，而，则，又 所求椭圆方程为 又，所以抛物线方程为 （3）椭圆上端点为（）则 又，则 故 又由，则椭圆短轴上端点轨迹方程为 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 1. 若AB为抛物线的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2 2. 若抛物线的准线与双曲线的右准线重合，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 抛物线上一点M到焦点的距离为，那么M点到轴的距离为 。 4. 若，则方程的解的个数是 。 5. 已知抛物线与圆至少有一个公共点，则的取值范围 。 6. 已知直线的方程为，椭圆的中心为D（），焦点在轴上，长半轴长为2，短轴长为1，它的一个顶点为A（），问P在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线的距离。 试题答案 1. B 2. B 3. 4. 3 5. 6. 解：椭圆方程为① 依题意椭圆上四个点的坐标都满足方程① 满足抛物线方程 因此椭圆上四个点符合题意方程①、②组成的方程组有4个不同的实数解，把②代入①并整理得③ 方程组有4个不同的实数解③有两个不相等的正实根 即在的条件下，解之得 用心 爱心 专心