高三数学导数的应用（二） 最大值与最小值人教版知识精讲.docVIP

高三数学导数的应用（二） 最大值与最小值人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容 导数的应用（二） 最大值与最小值 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，例如在内的图象连续，但无最大值和最小值。 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 【典型例题】 [例1] 求函数在区间上的最大值与最小值。 解：，令，有 当变化时，，的变化情况如下表： 0 1 2 － 0 + 0 － 0 + 13 ↓ 4 ↑ 5 ↓ 4 ↑ 13 从上表可知，函数在区间上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下： [例2] 已知，的最大值为3，最小值，求、的值。 解：依题意，否则与已知矛盾。 令解得或 （1）当时，由解得 令，解得，列表如下： 0 2 + 0 － ↑ 极大 ↓ 由连续，则当时，有最大值，即，又由，则为最小值，故 所以，当时，， （2）当时，列表如下： 0 2 － 0 + ↓ 极小 ↑ 故最小值为，最大值为 所以，当时，， [例3] 已知两个函数，，其中 （1）对任意的，都有成立，求的取值范围。 （2）对任意的，都有，求的取值范围。 解： （1）设，则对任意的，都有成立 ，， ，令，则或，列表如下： 2 3 + 0 － 0 + ↑ ↓ ↑ 由上表可知 则 （2）对任意，都有成立， 先求， 令得或，列表如下： 3 + 0 － 0 + ↑ ↓ ↑ 则 再求的最大值，，，，于是 [例4] 如图，在二次曲线的图象与轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积。 解：设点B坐标，则点C坐标为 ， 矩形ABCD的面积为 令得 故当时，有S最大值为 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 函数（）在的最大值为5，最小值为，求的解析式。 2. 已知函数 （1）若在上是增函数，求b的取值范围。 （2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。 3. 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？ 试题答案 1. 解： 解之得， 故解析式为 0 1 + 0 － ↑ 极大 ↓ 2. 解： （1）在上是增函数恒成立 （2）易求得，当时， 恒成立或 3. 解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为 =则容器容积为 令有，（舍），故当时，有最大值，，此时高为1.2。 答：高为1.2m时，容积最大为。 用心 爱心 专心