高三数学椭圆（文）人教版知识精讲.docVIP

高三数学椭圆（文）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 椭圆 二. 知识内容： 1. 椭圆方程 （1）标准方程：或 （2）参数方程： 2. 椭圆的几何性质 对称性、离心率、范围、顶点等 3. 直线与椭圆位置关系 （1）相交 （2）相切 （3）相离 【典型例题】 [例1] 直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围。 解：由 则对恒成立对恒成立，又，则有对恒成立，故即，又由，所以 另解：令，则问题转化为直线与圆总有公共点，求的取值范围。 由点线距离公式，有对恒成立，下同解法1 又解：利用数形结合，直线系恒过定点，直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内部，即，又故 [例2] 已知椭圆和两点，，若线段AB和椭圆没有公共点，求的取值范围。 解：线段AB的方程为：，即代入椭圆方程，并整理得问题等价于该方程无实数解，令，由对称轴，，故在上没有实根的充要条件是或， 又，故或 又法：利用数形结合，当椭圆分别过点A和点B时， ，故或 [例3] 已知椭圆和直线：，试确定的范围，使椭圆上有两个不同的点关于直线对称。 解：设和是椭圆上关于直线对称的两点，则过A、B的直线方程可写成代入 得满足 又，故AB中点为且M在上 故代入，得 另解：由， 相减得 由，则，故 设AB中点为，故 又M在上，则，解得， 又M在椭圆内，故 [例4] 若圆与椭圆有公共点，求圆的半径的取值范围。 解：由， 令，则两曲线有公共点，在上有实根，而，故，在有实根 ，又故 又解：利用参数方程， 由圆，椭圆 两曲线有公共点，消去， 整理得，当时，，当时， ∴ [例5] 已知直线，椭圆中心在原点，焦点在轴上且离心率，若椭圆上恰有三点到的距离为，求椭圆的方程。 解：设椭圆方程为，由 故，于是椭圆方程为，即 由与直线距离为的点的集合为两条平行于的直线 设为，由平行线距离公式，有 或 故与 显然椭圆与有两个公共点，故当且仅当与椭圆相切时满足条件，把代入，并整理得 由 所以所求椭圆方程为 [例6] 在椭圆上求一点P，使它到直线的距离最短。 解：设与椭圆相切并与平行的直线方程为 代入，并整理得 故两切线方程为和，显然距最近 切点为 另解：设椭圆的参数方程为（为参数） 设为椭圆上任意一点，则它到的距离为 其中，，当时，， [例7] 如图，已知椭圆，，，，，试问当动点P在上移动到什么位置时，三角形PCD的面积有最小值，求该最小值及此时P的坐标。 解：由已知，，故 且CD的方程为，即 设，则P到CD的距离为 其中，，当时， 故，此时的坐标为 ，即 另解：设与CD平行的直线的方程为代入=1 得 若与椭圆相切，则，则当时，最小。 与CD到距离，于是， 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 1. ，是直线与椭圆相切的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 2. 已知点P在椭圆上，则的最大值（ ） A. B. C. D. 3. 点P在椭圆上，且到直线的距离为，则P的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若直线与椭圆相交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线平分，则直线的倾斜角的范围是 。 5. 若曲线与曲线有公共点，则的取值范围是 。 6. 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率的椭圆E交于A、B两点，直线过线段AB中点M，又椭圆E上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆E的方程。 试题答案 1. C 2. D 3. B 4. 5. 6. 解：设椭圆E： 由， 故椭圆E：，设的斜率为 则由，可得 则的方程为，即，关于对称点在椭圆E上，则，于是椭圆E的方程为 用心 爱心 专心