§1.6全概率公式与贝叶斯公式概述.ppt

* §1.6 全概率公式与 在前面学习中，我们知道概率的加法公式和乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节我们学习另外两个概率公式——全概率公式和贝叶斯公式．它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式． 　　　贝叶斯公式 * 一、全概率公式 Ω B A1 A2 A3 A4 A6 A7 A5 A8 定理1.7 若 构成一个完备事件 则对于任何事件 组，且 B，有 * 证 分配律 有限可加性 乘法公式 * 原因事件 结果事件 全概率公式解决由因索果问题 每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式”之“全”取为此意. * 学生成绩好 B 原 因 * 　　例1.22 一批产品共8件，其中正品6件，次品2件．现不放回地从中取产品两次，每次一件，求第二次取得正品的概率． 结于求 是 发生的两个不同的“原因”． 与 构成一个完备事件组，即 与 解 记 问题归 由全概率公式，所求概率 * 　　我们把例1.22稍稍作一些改动，可获得一个有趣的结果． 　　例1.23 一批产品共8件，其中正品6件，次品2件．现不放回地从中取产品三次，每次一件，求第三次取得正品的概率． 解 记 问题归结于求 与 构成一个完备事件组，即 是 发生的四个不同的“原因”． 与 * 由全概率公式，所求概率 * 　　◆从件数一定的正品和次品组成一批产品 中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！　　 　　若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单 叙述为： 中奖的概率与摸奖的顺序无关！ 　　小结例1.22和例1.23的结果： * 　　例1.24 某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、 30%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01．现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？ 2，3，4，B={抽到次品}． =2.15%． 解 令 由全概率公式 * 二、贝叶斯公式 证 由条件概率的定义、乘法公式及全概率公式 定理1.８若 构成一个完备事 则对于任何事 组，且 件，有 * 　　 ◆贝叶斯公式是在“结果”已经发生条件下，寻找各“原因”发生的条件概率： 　 贝叶斯公式本质上解决追根溯源问题． * 　 例如，某生“学习成绩好”这个结果发生了，我们可以探讨是由于“学习环境良好”促成的概率有多大． 　　◆它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因． * 根据以往经验确定的一种主观概率，而后者 贝叶斯公式实际上是利用先验概率去求后验概率． 概率，“结果” B发生的条件下各“原因” 的概率 为后验概率，前者往往是 通常称各“原因”的概率 为先验 是在结果B发生之后对原因 的重新认识． * 　　例1.25 (续例1.24) 若该厂规定，一旦发现了次品就要追究有关车间的经济责任．现在从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件次品比较合理? 具体地讲，各个车间应承担多大的经济责任? 解 从概率的角度考虑可以按 的大 个车间的经济责任． 小来追究第 在前面的计算已经求得 * 于是，由贝叶斯公式可得 同理可得， * 　　由此可知，各个车间依次应承担27.91%、 27.91%、27.91%和16.28%的经济责任. 　　在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶 斯公式来解决一个较复杂的问题. * 　　例1.26 设有来自三个地区的各10名、15名 和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表， 从中先后抽出两份． (1) 求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的 一份是女生表的概率． * 由题设可得 (1) 问题归结于求 解 设 根据全概率公式，有 * 的所有的不同的原因． 构成一个完备事件组，是 发生 根据全概率公式，有 * (2)问题归结为求 由条件概率的 定义可得 下面我们先求 由条件概率的本来 含义得到 * 根据全概率公式 * 再求 由条件概率的本来含义得到 * 将以上求得的各个值代入(1.7)式，得所求概率为 又根据全概率公式