《三维设计2016级数学一轮复习基础讲解简单的三角恒等变换(含解析).doc

第六节简单的三角恒等变换 [知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin2，cos2，tan2. sin2＝；cos2＝；tan2＝. 2．用cos α表示sin，cos，tan. sin＝± ；cos＝± ； tan＝± . 3．用sin α，cos α表示tan. tan＝＝. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选B　∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈， ∴cos＝－ ＝－ ＝－. 2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选B　f(x)＝cos2－sin2＝－sin 2x，∴f＝－sin＝－. 3．已知tan α＝，则等于(　　) A．3 B．6 C．12 D. 解析：选A　＝ ＝2＋2tan α＝3. 4.＝________. 解析：＝＝＝. 答案： 5．若＝2 013，则＋tan 2α＝________. 解析：＋tan 2α＝＝ ＝＝＝2 013. 答案：2 013 　　三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解． (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解． (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可． 三角函数式的化简 典题导入 [例1]　化简. [自主解答]　原式＝ ＝＝ ＝cos 2x. 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 以题试法 1．化简·. 解：法一：原式＝· ＝· ＝· ＝·＝. 法二：原式＝· ＝· ＝·＝. 三角函数式的求值 典题导入 [例2]　(1)(2012·重庆高考)＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C. D.. (2)已知α、β为锐角，sin α＝，cos＝－，则2α＋β＝________. [自主解答]　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)∵sin α＝，α∈， ∴cos α＝， ∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝， ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝0. 又2α＋β∈. ∴2α＋β＝π. [答案]　(1)C　(2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 以题试法 2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan. (1)求f的值； (2)设α∈，若f＝2，求cos的值． 解：(1)f＝tan＝＝＝－2－. (2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②解得cos2α＝. 因为α∈，所以cos α＝－，sin α＝－. 所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝－×＋×＝－. 三角恒等变换的综合应用 典题导入 [例3]　(2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. [自主解答]　(1)∵f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－. 两式相加得2cos βcos α＝0