《三维设计2016级数学一轮复习基础讲解空间向量及其运算和空间位置关系.doc

空间向量及其运算和空间位置关系(理) [知识能否忆起] 空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb. 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 空间向量基本定理 (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c． (2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1. 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝. 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的． [小题能否全取] 1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c　　　　　　　　 B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 解析：选C　∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b. 2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 解析：选C　若c、a＋b、a－b共面， 则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 3．(教材习题改编)下列命题： ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0； ②若＝x＋y，则M、P、A、B共面； ③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面． 其中正确的个数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选D　可判断①②③正确． 4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)． 解析：如图，＝＋ ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 解析：设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确． 答案：①② 1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 2．直线的方向向量与平面的法向量的确定： (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 空间向量的线性运算 典题导入 [例1]　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. [自主解答]　 ＝＋＋＝＋＋ ＝a＋b＋c. ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－)＋(－) ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 本例条件不变，设A1C1与B1D1交点为M