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高等几何考试试卷.
浙江省2002年4月高等教育自学考试
高等几何试题
课程代码:10027
一、填空题每空2分,共20分
1._______,称为仿射不变性和仿射不变量.
2.共线三点的简比是_______不变量.
3.平面内三对对应点原象不共线,映射也不共线决定唯一_______.
4.点坐标为1,0,0的方程是_______.
5. 0代表点_______的方程.
6.已知共线四点A、B、C、D的交比AB,CD2,则CA,BD_______.
7.对合由_______唯一决定.
8.二阶曲线就是_______的全体.
9.证明公理体系的和谐性常用_______法.
10.罗巴切夫斯基平面上既不相交,又不平行的两直线叫做_______直线.
二、计算题每小题6分,共30分
1.求直线x-2y+30上无穷远点的坐标。
2.求仿射变换
的不变点.
3.求四点2,1,-1,1,-1,1,1,0,0,1,5,-5顺这次序的交比.
4.试求二阶曲线的方程,它是由两个射影线束
x1-λx30与x2-x30 所决定的.
5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y0的渐近线.
三、作图题每小题6分,共18分
1.给定点A、B,作出点C,使ABC4.
作法:
2.过定点P,作一条直线,使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法:
3.如图,求作点P关于二次曲线Γ的极线
作法:
四、证明题第1、2题各10分,第3小题12分,共32分
1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点,APS×QR,BPR×QS,CPQ×RS,证明A1BC×QR,B1CA×RP, C1AB×PQ三点共线.
证明:
2.过二次曲线的焦点F,引两条共轭直线l,l′,证明l⊥l′.
证明:
3.将△ABC的每边分成三等份,每个分点跟三角形的对顶相连,这六条线构成一个六边形图甲,求证它的三双对顶连线共点。
证明按以下程序作业:
第一步:将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′图乙,为什么这样变换存在?
第二步:在图乙中,画出图甲的对应点和线段,并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。
第三步:证明:变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立,为什么?
浙江省2002年4月自考高等几何试题答案
课程代码:10027
一、填空题每空2分,共20分
1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量
2. 仿射
3. 仿射变换
4. u10
5. 1,1,0、1,-1,0
6. -1
7. 两对不同的对应元素
8. 两个射影线束对应直线交点
9. 模型
10. 分散
二、计算题每小题6分,共30分
1.解:化为齐次式
x1-2x2+3x30,以x30代入
得 x1-2x20, x12x2 或 x2
∴ 无穷远点坐标为2,1,0
2.解:由
得
解此方程,得不变点为
3.解:以2,1,-1和1,-1,1为基底,
则2,1,-1+μ11,-1,1相当于1,0,0
∴
得 μ11
又 2,1,-1+μ21,-1,1相当于1,5,-5
∴
得 μ2-
所求交比为4.解:∵ 1
将x1-λx30, x2-x30中的,λ,代入1
得
得 x2x1+2x3-x3x1-x30,
化简,即得所求的二阶曲线方程
5.解:∵ 系数行列式
∴ A31,A32,A33-,
因此中心坐标 ξ-,η- .
由 2X2+XY-3Y20,
即 2X+3YX-Y0.
得 2X+3Y0 X-Y0. 1
将 Xx+ Yy+ 代入1
得 2x+3y+10 x-y0
即为所求的渐近线方程
三、作图题每小题6分,共18分
1.作法:
∵ ABC,
∴ ,
即 3 .
在AB延长线上,作点C,使BCAB2.作法:利用代沙格定理:
任取线束S,设束中两条直线交a于A,C,
交b于A′,C′;
连直线PC,PC′分别交线束S的第三条直线于B,B′;
直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线,即为所求的直线.
注:1°文字,
2°也可利用巴卜斯定理;或完全四点形调和性质作图.
3.作法:过P点任引两直线,使与Γ分别交于A、B及C、D,
设QAC×BD,RAD×BC,那么
直线QR即为所求的极线.
四、证明题第1、2题各10分,第3小题12分,共32分
1.证明:在△ABC及△PQR中,
∵AP、BQ、CR共点S.
∴对应边的交点
C1AB×PQ, B1CA×RP, A1BC×RQ
三点共线
2.证明:已知F为焦点,l,l′为由F所引的二共轭直线,按其点定义,两迷向直线FI,FJ是二次曲线的切线.
从而 FI,FJ,l,l′-1,
所以 l⊥l′
3.第一步,∵任意两三角形,总存在仿射变换,使其中一个三角形仿射变换为另一三角形.
第二步:正三角形的每边三等份,每一分
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