高等几何考试试卷..docVIP

浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题每空2分，共20分 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点原象不共线，映射也不共线决定唯一_______. 4.点坐标为1，0，0的方程是_______. 5. 0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A、B、C、D的交比AB，CD2，则CA，BD_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题每小题6分，共30分 1.求直线x-2y+30上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 的不变点. 3.求四点2，1，-1，1，-1，1，1，0，0，1，5，-5顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x1-λx30与x2-x30 所决定的. 5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y0的渐近线. 三、作图题每小题6分，共18分 1.给定点A、B，作出点C，使ABC4. 作法： 2.过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法： 3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题第1、2题各10分，第3小题12分，共32分 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，APS×QR,BPR×QS,CPQ×RS,证明A1BC×QR,B1CA×RP, C1AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形图甲，求证它的三双对顶连线共点。 证明按以下程序作业： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′图乙，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。 第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么? 浙江省2002年4月自考高等几何试题答案 课程代码：10027 一、填空题每空2分，共20分 1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量 2. 仿射 3. 仿射变换 4. u10 5. 1，1，0、1，-1，0 6. -1 7. 两对不同的对应元素 8. 两个射影线束对应直线交点 9. 模型 10. 分散 二、计算题每小题6分，共30分 1.解：化为齐次式 x1-2x2+3x30,以x30代入 得 x1-2x20， x12x2 或 x2 ∴ 无穷远点坐标为2，1，0 2.解：由 得 解此方程，得不变点为 3.解：以2，1，-1和1，-1，1为基底， 则2，1，-1+μ11,-1,1相当于1，0，0 ∴ 得 μ11 又 2，1，-1+μ21,-1,1相当于1，5，-5 ∴ 得 μ2- 所求交比为4.解：∵ 1 将x1-λx30, x2-x30中的，λ，代入1 得 得 x2x1+2x3-x3x1-x30， 化简，即得所求的二阶曲线方程 5.解：∵ 系数行列式 ∴ A31,A32,A33-, 因此中心坐标 ξ-,η- . 由 2X2+XY-3Y20， 即 2X+3YX-Y0. 得 2X+3Y0 X-Y0. 1 将 Xx+ Yy+ 代入1 得 2x+3y+10 x-y0 即为所求的渐近线方程 三、作图题每小题6分，共18分 1.作法： ∵ ABC， ∴ , 即 3 . 在AB延长线上，作点C，使BCAB2.作法：利用代沙格定理： 任取线束S，设束中两条直线交a于A，C， 交b于A′，C′； 连直线PC，PC′分别交线束S的第三条直线于B，B′； 直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线，即为所求的直线. 注：1°文字， 2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图. 3.作法：过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D， 设QAC×BD，RAD×BC，那么 直线QR即为所求的极线. 四、证明题第1、2题各10分，第3小题12分，共32分 1.证明：在△ABC及△PQR中， ∵AP、BQ、CR共点S. ∴对应边的交点 C1AB×PQ， B1CA×RP, A1BC×RQ 三点共线 2.证明：已知F为焦点，l，l′为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线. 从而 FI，FJ，l，l′-1， 所以 l⊥l′ 3.第一步，∵任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形. 第二步：正三角形的每边三等份，每一分