巴斯卡定理证明阐释.ppt

巴斯卡定理证明阐释 主讲人：陈中林 技术支持： 老河口电大 2014-8-20 【定理内容】 （文字）设A，B，C是直线 l 上互异的三点，A ＇，B＇，C＇是直线l＇上互异的三点，那么三个交点：L=BC＇ｘB＇C，N=AB＇ｘA＇B，M=CA ＇ｘC＇A共线。 （图形） 【定理条件】 （1）两点列没有特定要求，但存在一个公共交点，该交点可能是有穷远点，也可能是无穷远点，本课程采用有穷远点为公共交点。 （2）两点列各取相异3点，共6个点，配成3对点组。 （3）交点选取：3组对应点组为AA＇，BB＇，CC＇；每两组之间不共线错位点的连线的交点即为符合条件的点，有3个，设为N，M，L。 【定理结论】 三交点共线 【证明途径】 要证三点共线，先转换成三线共点；为了证明三线共点需要寻找决定共点三线的特定点列，即透视点列；再利用点列透视的性质得到所要证明的结论。 【理论依据】 两点列透视则对应点的连线共点(中心)。 【证明过程展示】 图示 方法一： 分别以A，C为中心作透视变换（2次透视）。 记J=C＇AｘA＇B，K=BC＇ｘCA＇，O=ABｘA＇B＇； 选取两点列（A＇NJB）与（KLC＇B）加以考察， 以A为中心将点列（A＇NJB）透视到点列（A＇B＇C＇O）；再以C为中心将点列（A＇B＇C＇O）透视到点列（KLC＇B），即 （A＇NJB）（A＇B＇C＇O）（KLC＇B） 根据透视对应与射影对应的关系（透视对应的性质），可知 （A ＇NJB）（KLC＇B） 这两个点列底存在以点B为自对应点，因此这两个点列透视。 根据两个点列透视的性质得到A＇K,NL,JC＇三线交于一点，即N，M，L共线。 证 毕 方法二， 分别以A＇，C＇为中心作透视变换（2次透视）。 同方法一一样，通过推导，可知以B＇为自对应点的点列（ANHB＇）与点列（ILCB＇）透视，由两个点列透视的性质得到三点N，M，L共线。 说明 本讲内容采用2003年中央电大出版社出版《几何基础》，于祖焕主编。 * * O A＇ B＇ C＇ A B C N M L O A＇ B＇ C＇ A B C N M L K J H I