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第1章应用时间序列分析—差分方程(东北财经大学)
应用时间序列分析
---现代时间序列分析的必威体育精装版方法
王雪标
东北财经大学 数学与数量经济学院
第一章 差分方程
统计程序主要是用来处理从独立试验或调查而得到的数据:。与顺序无关。一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如,每月失业人数,每年GDP,…,等等。
对一些序列来说,在每时刻都可做观测,并得到一列数据。这时称为连续时间序列,记。然而,在经济学中,大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如,每小时,每天,每周,每月,每季度,每年。这样形成离散时间序列,记。
一个观测到的序列可看作是一个随机过程的实现。在统计学中我们主要分析来自总体的样本,而在时间序列分析中我们主要分析来自随机过程的观测序列(实现)。时间序列分析的基本目的是对随机过程的基本特征、性质做推断。因而,时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据,建立相对简单的模型,对经济现象进行解释、假设检验和预测。在分析中的第一步通常是形成一个统计量。最终目的是利用数据构造模型,这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。
因此他们建立了一系列分析方法,将序列分解为趋势性部分、季节性部分、周期性部分和不规则性部分。
趋势性方程:
季节性方程:
无规则性方程:
为期随机扰动项。
这三个方程是典型的差分方程。一般来说,差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数,不规则项是它本身滞后项和随机变量的函数。时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程。估计单个序列或向量(包含许多相关的序列)的一些性质。
含有随机元素的差分方程通常假设有下面形式:
处值=处值的期望+误差项
误差项通常取为白噪声序列。如果将处值的期望取为期值的固定比例,这时就是一阶自回归。如果将处值的期望取为过去值的加权平均,这时就是高阶自回归。
线性差分方程(p阶)
这个差分方程的一般解是
这里是齐次方程的解,是特解。这里的滞后算子表示为:,
对于一阶齐次方程
则,解为, 是依赖于初值的常量。
对于二阶齐次方程
则,可能的解的形式为
代回方程得 ,如果是方程的根,则确实是方程的解。可利用初值的条件,确定。
对于一般的p阶方程
有解
这里是方程的根(假设没有重根)。如果是复根,则有共轭对应,形为,对于充分大的,解的形式将由所控制,。 如果,解是平稳的。如果,解是爆炸性的。
解是平稳的充分必要条件是:的根在单位园之外,把它称为平稳性条件。
本课程将介绍一维和多维时间序列的预测方法;介绍如何估计时间序列的不规则部分;当数据显示波动和相对平滑时,方差如何估计;趋势的估计(趋势是确定性的还是随机性的);随机向量差分方程的特征性质;多维模型中趋势的估计。
虽然时间序列分析的主要内容是预测,经济学的动态变化使时间序列分析又有新的应用。许多经济理论有随机差分方程表示。而且,许多重要经济变量的时间路径都具有可检验性。
看下面三个例子:
随机游动假说:
随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该有零均值。如果已知在t天买一份股票,在下一天卖掉可以得到预期的利润的话,那么大量投机就会驱使现价上涨。同样,如果一份股票预期要贬值,没人会想持有这个股票。这个模型认为:股票价格应当满足随机差分方程
或
这里 在t天一份股票的价格
有零均值的随机扰动项。
现在考虑更一般的随机差分方程
检验随机游动假设就是检验限制条件,拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。
导出(reduced)型方程和结构方程:
将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题,考虑Samuelson (1939)的经典模型:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
这里和表示在t期实际GDP、消费和投资。在这个Keynesian模型中,和是内生变量。前一期GDP 和前一期消费被称为前定的或滞后的内生变量。称为消费和投资的零均值扰动项,是要估计的参数。
第一个方程说明:总产出(GDP)等于消费与投资之和。第二个方程说明:消费等于前一期的GDP的比例加上随机扰动项。第三个方程是加速原理:投资和消费变化成比例,消费的增长促使了新的投资。误差项代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。
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