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[自动控制理论——非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析 7-1 非线性特性对系统的影响 7-2 典型非线性环节 7-3 描述函数的基本概念 7-4 典型非线性环节的描述函数 7-5 用描述函数研究非线性系统 7-6 相平面的基本概念 7-7 线性控制系统的相平面分析 7-1 非线性特性对系统的影响 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性; 严格地说,由于控制元件或多或少地带有非线性特性,所以实际的自动控制系统都是非线性系统; 一些系统作为线性系统来分析: ①系统的非线性不明显,可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性虽然较明显,但在某些条件下,可进行线性化处理; 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时,就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。 本质非线性系统有以下特点: 1)初始条件与输入量对非线性系统的影响 2)系统的稳定性也与输入信号的大小、初 始条件有关 线性系统系统的稳定性只取决于系统结构和参数,与输入信号及初始条件无关。 3)非线性系统可以产生自持振荡: 在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或自振荡; 线性系统只有两种工作模式:要么发散,要么收敛; 非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。 4)当非线性输入的信号为正弦作用时,由于非线性其输出将不再是正弦信号,而包含有各种谐波分量,发生非线性畸变。 5)混沌 非线性系统分析方法: 1)非线性系统的运动比线性系统复杂得 多; 2)分析线性系统的分析方法不能用于分析 非线性系统; 3)非线性系统的数学模型是非线性微分方程;但至今为止非线性微分方程没有成 熟的解法; 4)描述函数法、相平面法和李亚谱诺夫第二方法是分析非线性系统的三种方法。 7-2 典型非线性环节 1、饱和非线性 饱和非线性对系统的影响: 饱和非线性使系统在大信号作用下的等效增益下降,严重的可以使系统丧失闭环控制作用。 2、死区 3、滞环(非单值特性) 4、继电器特性 7-3 描述函数的基本概念 描述函数的基本概念 当非线性元件输入一个正弦信号 输出是一个含有高次谐波的周期函数: 满足上面条件,可以用基波信号代替整个输出的信号; 7-4 典型非线性环节的描述函数 1 饱和非线性: 2 死区非线性 7-5 用描述函数研究非线性系统 一 非线性系统稳定性分析 描述函数是在正弦输入信号作用下,输出的基波分量与输入正弦信号之间的关系。 描述函数只能用于对非线性系统的稳定性和自持振荡的近似分析。 如果 与 曲线相交,则可能产生自持振荡。 严格地讲,自持振荡不是正弦的,但可以用正弦来近似。 自持振荡的幅值是由交点处 曲线上的A值决定的,而频率是由交点处 曲线上的频率 决定的。 小结 非线性系统有不同于线性系统的特性; 描述函数是对非线性系统特性的谐波线性化处理后的近似线性系统的频率特性; 描述函数法应用必须满足四个条件; 描述函数法只能分析系统的稳定性和自持振荡。 7-6 相平面的基本概念 考虑二阶系统: 1)相轨迹上每一个点都有确定的斜率 2)相轨迹的奇点 3)相轨迹正交于 轴 1)解析法 当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。 由此,可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平面分为两个区域,即I区及II区,它们分别对应于上述两个方程式;每个区域内的相轨迹都是一族抛物线 2)等倾线法 当系统相轨迹方程不易用解析法求解时,可使用等倾线法绘制系统的相轨迹。 方法: (1)对于给定斜率? ,求解等顷线方程,得到一条等顷曲线。 (2)给定不同的?值,可在相平面上绘制不同的等倾曲线。 (3)由给定的初始条件出发,沿各条等倾曲线所决定相轨迹的切线方向,依次画出系统相轨迹。 相平面法的适用范围:二阶非线性特性可以表示为分段的线性特性,则适宜用相平面法进行研究; 相轨迹的绘制:(1)非线性特性的每一线性段对应着一个线性微分方程;(2)这个线性微分方程适用于在相平面上一个对应区域;(3)用解析法或等倾线法 求得每一个区域的相轨迹族;(4)将各个区域的相轨迹族拼接在一起,就得到整个系统的相平面图。 7-7 线性控制系统的相平面分析 根据相轨迹分析系统性能: (1)绘制相轨迹;(一般为误差相轨迹!!) (2)根据给定的初始条件,在相平面上确定相轨迹的起点; (3)从起点开始,相点在相应的区域内按相轨迹族中的某一轨迹运动,在两区域交界处作相应的转换:前一区域相轨迹的终点即是下一区域相轨迹的起点,依次类推,可得出全部相轨迹。 (4)根据绘制的相轨迹可分析非线性系统的运动特性。包括稳定性、响
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