数学思想与数学方法考试提纲.doc

数学思想与数学方法考试提纲 毕达哥拉斯：把数学从哲学中分离出来； 毕达哥拉斯学派：第一个将数学作为一门独立学科进行研究的学派 欧几里得：“几何学之父”，《几何原本》 丢番图：把代数从几何中分离出来，“代数之父” 韦达：“代数学之父” 欧式几何和非欧几何的区别： 非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。 非欧几何一般是指罗氏几何和黎曼几何。罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。到公元6世纪，随着希腊文明被毁灭，欧洲社会坠入了黑暗的中世纪，欧洲的科学在长达千余年间处于萧条局面。于是，数学也随着科学中心的东移，在中国、印度、阿拉伯各国得到发展收集、整理、翻译大量散失的古希腊和东方的科学技术及数学著作十字军远征使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲，逐渐成为新的经济和文化中心。欧洲文艺复兴始于意大利，之后是德国德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。 与意大利传教士利玛窦一起翻译并出版了《几何原本》Xn的导数时，采取了先给X以增量ε，应用二项式（+ε）n，从中减去Xn以求得增量，并除以ε以求出Xn的增量与X的增量之比，然后又让ε消逝，这样得出增量的最终比。”这里牛顿做了违反矛盾律的手续---先设有X增量，又令增量为零，也即假设X没有增量。“他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬。”“dx为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。第二次数学危机是随着极限的诞生而解决的. 第三次数学危机——关于集合的悖论的产生。罗素于1919年给出的悖论涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？”如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 　　　 12、数学奖项 国际数学家大会（ICM）：每四年举行一次。2002年第24届ICM首次在中国北京举行，陈省身任大会名誉主席，吴文俊任主席。2002年为中国数学年。 菲尔兹奖：数学界的诺贝尔奖 沃尔夫奖：奖给那些在数学上终身成就突出的数学家。陈省身在1984年获得了沃尔夫奖 13、用数学归纳法证明：数列 （个根号）单调增加有上界。 证明：Ak= （k个根号) 当n=1时，数列仅为A1 当n=2时，数列为A1，A2单调递增，且有上界 当n=k时，该数列单调递增，且有上界，令上界为x， 那么当n=k+1时，limAk=limAk+1，即x=,x=2(舍去x=-1) 即当n=k+1时也成立，所以原命题得证。 根的存在定理（这个太简单了） 选择一个学习过程中遇到的数学问题，简述解决该问题所用到的数学思想方法。 这个随便写吧，什么微积分、线代、概率，随便想一个问题就行，做不做还不一定呢。 选择一个数学分支，分析其某一发展过程中与社会文化发展的关系。 微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分，因为微积分是研究运动规律的科学。现代微积分理论基础的建立是认识上的一个飞跃。极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的辩证的对立统一关系。从极限的观点看，无穷小量不过是极限为零的变量。即在变化过程中，它的值可以是“非零”，但它的趋向是“零”，可以无限地接近于“零”。因此，现代微积分理论的建立，一方面，消除了微积分长期以来带有的“神秘性”，使得贝克莱主教等神学信仰者对微积分的攻击彻底破产，而且在思想上和方法上深刻影响了近代数学的发展。这就是微积分对哲学的启示，对人类文化的启示和影响。 从数学发展历程中选取一种数学文化，论述其中蕴含的数学思想。 极限思想虽然在古希腊、在古代中国都有存在可循，但其真正的发展确是在文艺复兴时期。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困