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2010 稳健L_q_0_q_1_正则化理论_解的渐近分布与变量选择一致性_常象宇
:
2010
40
10 : 985 ~ 998
Lq (0 q 1)
:
x, x?, y, z, {
x , 710049; y , 710069; z , 400715; { , 999078 E-mail: xiangyuchang@, zbxu@, zhanghai@, wjj@, yliang@.mo
: 2010-01-31; (
: 2010-08-12; * : 2007CB311002)
( :
Lq (0 q ∞) 0q1
,
MSC (2000)
Oracle 62F12, 62F35, 62J07
,
, LAD
, , .
. . .
1
,
.
.,
.
y∈R
x ∈ Rp
y = xTβ + ε,
(1.1)
β = (β1, β2, . . . , βp)T ∈ Rp, ε ~ N (0, σ2)
.
{(xi, yi)|yi ∈ R, xi ∈ Rp, i = 1, 2, . . . , n},
n
min
β∈Rp
(yi ? xTi β)2
i=1
β,
. (1.1)
Y = (y1, y2, . . . , yn)T ∈ Rn
, X = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn×p
β?ols = (XTX)?1XTY.
n ,
: Chang X Y, Xu Z B, Zhang H, et al. Robust regularization theory based on Lq (0 q 1) regularization: the asymptotic distribution and variable selection consistence of solutions (in Chinese). Sci Sin Math, 2010, 40(10): 985–998, doi: 10.1360/012010-77
: Lq (0 q 1)
:
, ,,
, ,
( ,
. .
, LAD (least absolute deviation) :
). : , ;, .
,
n
β?LAD = arg min |yi ? xTi β|.
i=1
LAD (
, ), [11–13]
:
[1], Chanes [2]
.,
[4–10]
LAD
.
,
.
n
min (yi ? xiTβ)2 + λnPen(β) ,
i=1
λn 0
, Pen
Pen(β) =
β
2 2
,
[15];
Pen(β) =
p j
|βj
|q
,
1
q∞
Pen(β) =
p j
|βj|q, 0
q
∞
,
.
RLAD ,
[20, 21]
:
[14]; ,
,β
Pen(β) = β 1 =
p i=1
|βi
|,
Bridge
[16]. Knight
., Lasso
Fu[17]
; Huang[18]
Bridge
, [19]
LAD-Lasso LAD-Adaptive Lasso .
np
min |yi ? xTi β| + λn,j |βj| .
i=1 j=1
, Lq (0 q 1)
L1
L1 Lq (0 q 1)
.
; ;,
[24] L1
, L1 .
[22]
, [22–24]
Donoho[25]
.,
[22?24], L1 Lq (0 q 1)
Lq
β?n,q = arg min
np
|yi ? xTi β| + λn,j |βj |q ,
i=1 j=1
LAD-Lq
,
0 q ∞.
Lasso[20] LAD-Adaptive Lasso[21]
.
,
LAD-Lq 2
0q1 LAD-Lq
,
q=1 L1
RLAD
q=1 .
, LAD-Lq LAD-Lq
.3
986
(1.2)
RLAD[19], LAD,
LAD-Lq ,
: 40 10
Lq (0 q 1) .
LAD-Lq (0 q 1) ,4
.,
5,
( ).
Oracle , ,
LAD-Lq (0 q 1)
2 LAD-Lq
Y = (y1, y2, . . . , yn)T, ),
X = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn×p.
n
yi = 0,
i=1
n
xij = 0,
i=1
n
x2ij = 1,
i=1
? j = 1, 2, . . . , p.
,:
(i) E(εi) = 0
yi yi = xTi β + εi, Var(εi) = σ2.
(ii)
εi, i = 1, 2, . . . , n,
(
1 n
X
TX
→
C
(n
→
∞),
C. (iii)
u ∈ Rp,
t√ √
φn
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