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2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理试题 理 北师大版
第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理试题 理 北师大版
1.四个公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:.
3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.等角定理
空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【知识拓展】
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( × )
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )
(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
1.下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.
2.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
答案 C
解析 由已知,α∩β=l,∴lβ,又∵n⊥β,∴n⊥l,C正确.
3.(2016·合肥质检)已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
答案 C
解析 m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;根据线面平行的性质可知C正确;若m∥n,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.
4.(教材改编)如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2,则BC和EG所成角的大小是______,AE和BG所成角的大小是________.
答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF,tan∠EGF===1,∴∠EGF=45°,
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF,tan∠GBF===,∴∠GBF=60°.
5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
答案 4
解析 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
题型一 平面基本性质的应用
例1 (1)(2016·山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.
(2)已知空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:
①E、F、G、H四点共面;
②三直线FH、EG、AC共点.
证明 ①连接EF、GH,如图所示,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD.
又∵CG=BC,CH=DC,
∴GH∥BD,
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