2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 垂直关系试题 理 北师大版.docVIP

第八章 立体几何与空间向量 8.5 垂直关系试题 理 北师大版 1．直线与平面垂直 图形 条件 结论 判 定 a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线) a⊥α a⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α 性 质 a⊥α，bα a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α 【知识拓展】 重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　) (4)若α⊥β，a⊥βa∥α.(　×　) (5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　) 1．(教材改编)下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案　A 解析　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内． 2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，bβ，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β. 3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题： ①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD. 其中为真命题的是(　　) A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 答案　D 解析　①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝ACAM⊥BC，同理DM⊥BCBC⊥平面AMD，而AD平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的投影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CDBO⊥CD，由AC⊥BDCO⊥BD?O为△BCD的垂心DO⊥BC?AD⊥BC. 4．(2016·济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是(　　) A．MC⊥AN B．GB∥平面AMN C．平面CMN⊥平面AMN D．平面DCM∥平面ABN 答案　C 解析　显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB平面AMN， MH平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确． 5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的投影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB平面PAB，∴PC⊥AB， 又AB