2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算试题 理 北师大版.docVIP

第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算试题 理 北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)空间向量基本定理 如果向量e1, e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λe1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 【知识拓展】 1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　√　) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　) 1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　C 解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c， ∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(　　) A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 答案　C 解析　因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b.故选C. 3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是_________________． 答案　和 解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)． 4.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 答案　a＋b＋c 解析　＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c. 5．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________． 答案　 解析　||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2， ∴||＝，∴EF的长为. 题型一　空间向量的线性运算 例1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． 用，，表示，则＝________________. 答案　＋＋ 解