2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直试题 理 北师大版.docVIP

第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直试题 理 北师大版 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2?u1·u2＝0. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　×　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．(　×　) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(　√　) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　√　) (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(　×　) (6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　×　) 1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C．(－，－，－) D．(，，－) 答案　C 解析　设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则化简得 ∴x＝y＝z.故选C. 2．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l与α斜交 D．lα或l∥α 答案　B 解析　由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B. 3．平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 答案　C 解析　∵α∥β，∴两平面法向量平行， ∴＝＝，∴k＝4. 4．(教材改编)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案　α⊥β　α∥β 解析　当v＝(3，－2,2)时， u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0α⊥β. 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2uα∥β. 5．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，，0)，N(，0,1)， ·＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，∴ON与AM垂直． 题型一　利用空间向量证明平行问题 例1　(2016·重庆模拟)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD， ∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)． ∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 设＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， ∴解得s＝t＝2， ∴＝2＋2， ∵PBFG，∴PB∥平面EFG. 引申探究 本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC. 证明　∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)， ∴＝2，∴BC∥EF. 又∵EF平面PBC，BC平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 思维升华　(1)恰当建立空间