2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和试题 理 北师大版.docVIP

第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和试题 理 北师大版 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 【知识拓展】 等比数列{an}的单调性 (1)满足或时，{an}是递增数列． (2)满足或时，{an}是递减数列． (3)当时，{an}为常数列． (4)当q0时，{an}为摆动数列． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　) (2)G为a，b的等比中项G2＝ab.(　×　) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　) 1．(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　) A．－ B．－2 C．2 D. 答案　D 解析　由题意知q3＝＝，∴q＝. 2．(2016·南昌一模)若等比数列{an}的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 因为前4项的和为9，积为， 所以＝9，且aq1＋2＋3＝aq6＝， 即aq3＝， 所以＋＋＋＝ ＝·＝2， 故选D. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 答案　C 解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C. 4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案　27,81 解析　设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案　－11 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴＝· ＝＝＝－11. 题型一　等比数列基本量的运算 例1　(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2 B．1 C. D. (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________. 答案　(1)C　(2)2n－1 解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝.故选C. (2)∵∴ 由①除以②可得＝2， 解得q＝，代入①得a1＝2， ∴an＝2×()n－1＝， ∴Sn＝＝4(1－)， ∴＝＝2n－1. 思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　) A. B. C. D. (2)(201