2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和试题 理 北师大版.docVIP

第六章 数列 6.4 数列求和试题 理 北师大版 1．等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. 2．等比数列的前n项和公式 Sn＝ 3．一些常见数列的前n项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)． (4)12＋22＋…＋n2＝. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ＝－； ＝； ＝－. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　) (2)当n≥2时，＝(－)．(　√　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　×　) (4)数列{＋2n－1}的前n项和为n2＋.(　×　) (5)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　) 1．(2016·潍坊模拟)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D．n2＋n 答案　A 解析　设等差数列的公差为d，则a1＝2， a3＝2＋2d，a6＝2＋5d. 又a1，a3，a6成等比数列， a＝a1·a6. 即(2＋2d)2＝2(2＋5d)， 整理得2d2－d＝0. d≠0，d＝. Sn＝na1＋d＝＋n. 2．(教材改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n等于(　　) A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．2 019 答案　B 解析　an＝＝－， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(1－＋－＋…＋－) ＝1－＝. 令＝，得n＝2 017. 3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 答案　B 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　2n＋1－2＋n2 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 5．数列{an}的通项公式为an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 017＝________. 答案　1 008 解析　因为数列an＝ncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4. 故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2. a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8， 故a5＋a6＋a7＋a8＝2， 周期T＝4. S2 017＝S2 016＋a2 017 ＝×2＋2 017·cos π ＝1 008. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　分组转化法求和 例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝，nN＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝