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第一章 向量代数 习 题 1.1 1.要使下列各式成立，向量应满足什么条件？ (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) ; (6) . 解：(1) ；(2) 与同向；(3) 与反向且； (4) 与反向,(5) 与同向且, (6)与同向且 2.已知向量方程组 ，求解向量. 解：解关于的方程组得 3.已知四边形中，,对角线的中点分别为,求. 解：. 4.已知平行四边形的对角线为，求. 解：设 则 解方程组得 . 5.证明：向量共面. 证明：因为，所以三向量共面. 习 题1.2 1．已知，求 解：. 2．已知点和，求向量并求关于的对称点的坐标. 解：. 3．判断下列向量中哪些是共线的： 解：共线，与共线，与共线. 4．判断下列向量是否共面： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1)不共面；(2)、(3)共面. 5．△中，，是边上的高，求点对坐标系的坐标. 解：求点对坐标系的坐标，实际上是要求用来表示. . 6．在四面体中，是△的重心，分别是的中点，求 向量在坐标系下的坐标. 解： 7．求向量的方向余弦. 解：. 8.已知线段被点和三等分，试求这个线段两端点与的坐标. 解 习 题1.3 １．已知向量与互相垂直，向量与及的夹角都是，且，计算： 　 (1) ；　 (2) ； (3) ； (4) 解：(1) 5; (2) -3; (3) ; (4) 11. 2．在右手直角坐标系下，计算下列各题： (1) ，求及； (2) ，求在上投影向量及投影向量长. 解：(1) ； (2) ，； 3.利用向量的数量积导出三角形的中线公式： . 解：因为 . 所以 故有 . 4.用向量法证明三角形的重心分原三角形成等积的三个三角形. 证明：证1：如图所示，设为之重心，则 ； 同理，； . 证2：. 仿此可证： . 证3：. 仿此可证：； . 5.已知向量，求在各坐标轴上的投影. 答：分别为. 6.已知向量，试把分解成与之和. 解： 7.用向量法证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点的距离相等. 证明:设的中垂线与的中垂线相交于点，连接点与的中点，只需要证明和即可。 因为，所以，所以.同理可得，故又因为 即,所以. 8．用向量法证明空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等. 证明：设四边形各边所成向量依次为又因为 . 习题1.4 1.计算 (1) ，求 ，，，，； 解： (2) 直角坐标系内求以为顶点的△的面积及边上的高. 解：，. (3) 已知，求与都垂直的单位向量. 解： (4) 已知，求与 解：， 2.设为两两不共线的三向量，试证明等式成立的充要条件为. 3. 利用向量积证明三角形面积的海伦(Heron)公式：，式中为三角形三条边的边长，，为三角形的面积. 解：在中，设，且.那么的面积为.所以，又，故 .因为.从而，. 所以. 故 化简得：. 习题1.5 1.已知四面体的顶点坐标，求它的体积,并求从顶点所引出的高的长度. 解：； 2.在直角坐标系内判断向量是否共面，若不共面，求出以它们为三邻边构成的平行六面体体积. (1) ； (2) 解：(1）共面；（2）不共面，2 3．如，证明：共面. 证明：对等式的两边与作数量积，可以得到，故共面. 4．如，证明：与共线. 解：因为 所以与共线. 5. 在直角坐标系内已知求 和. 解：； 6. 证明： 证明： 上述三式相加可得：. 7．证明： 证明：. 复习题一 1．已知,求的面积. 解： 2．已知四面体的体积，它的三个顶点为，又 知道它的第四个顶点在轴上，试求点的坐标和从顶点所引出的高的长. 解：； 3．试用向量法证明：平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直. 证明： 如图：因为向量，，所以 则当且仅当 当且仅当 当且仅当. 4．设,,,已知向量垂直于和且,求. 解：. 5．设向量与、所在的平面垂直,求,并求以、为顶点的三角形的面积. 解：， 6．试用向量法证明：内接于半圆,并以直径为一边的三角形为直角三角形. 证明：设内接于半径为的半圆的的一边是过圆的直径，另一顶点在半圆上为点.则 所以，即是直角三角形. 7.设一四边形各边之长是，对角线互相垂直，求证：各边之长也是的任意一个四边形的两条对角线也必互相垂直. 证明：同习题1.3第8题. 8.梅耐劳斯(Menelaus)定理：在的三边或其延长线上分别取