电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版.doc

电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵)(第二版) 全套 第一章 题 解 1-1 已知三个矢量分别为；；。试求①；②单位矢量；③；④；⑤及；⑥及。 解 ① ② ③ ④ ⑤ 因 则 ⑥ 。 1-2 已知平面内的位置矢量A与X轴的夹角为(，位置矢量B与X轴的夹角为(，试证 证明 由于两矢量位于平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为 已知，求得 即 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为，及。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 ； ； 那么，由顶点P1指向P2的边矢量为 同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为 因两个边矢量，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。 因 ， 所以三角形的面积为 1-4 已知矢量，两点P1及P2的坐标位置分别为及。若取P1及P2之间的抛物线或直线为积分路径，试求线积分。 解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为, ，则 ②积分路线为直线。因,两点位于平面内，过,两点的直线方程为，即，，则 。 1-5 设标量，矢量，试求标量函数(在点处沿矢量A的方向上的方向导数。 解 已知梯度 那么，在点处( 的梯度为 因此，标量函数(在点处沿矢量A的方向上的方向导数为 1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。 证明 式（1-5-11）为，该式左边为 即， 。 根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。 1-7 已知标量函数，试求该标量函数( 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。 解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数(的梯度为 那么 将点P(1,2,3) 的坐标代入，得。那么，在P点的最大变化率为 P点最大变化率方向的方向余弦为 ； ； 1-8 若标量函数为 试求在点处的梯度。 解 已知梯度，将标量函数(代入得 再将P点的坐标代入，求得标量函数( 在P点处的梯度为 1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。 证明 式（1-6-11）为，该式左边为 即 式（1-6-12）为，该式左边为 ； 即 1-10 试求距离在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。 解 在直角坐标系中 在圆柱坐标系中，已知，，，因此 在球坐标系中，已知,,,因此 1-11 已知两个位置矢量及的终点坐标分别为及，试证与之间的夹角(?为 证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为 已知两个矢量的标积为，这里(为两个矢量的夹角。因此夹角(为 式中 因此， 1-12试求分别满足方程式及的函数及。 解 在球坐标系中，为了满足 即要求 ，求得 即 在球坐标系中，为了满足 由于，，即上式恒为零。故可以 是r的任意函数。 1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。 证明 ①式（1-7-11）为 （为常数） 令， ，则 ②式（1-7-12）为 令，，则 若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。 1-14 试证 ，及。 证明 已知在球坐标系中，矢量A的旋度为 对于矢量，因，，，代入上式，且 因r与角度(，(无关，那么，由上式获知。 对于矢量，因，，，显然。 对于矢量，因，，，同理获知 。 1-15 若C为常数，A及k为常矢量，试证： ① ； ② ； ③ 。 证明 ①证明。 利用公式，则 而 求得 。 ②证明。 利用公式，则 再利用①的结果，则 ③证明。 利用公式，则 再利用①的结果，则 。 1-16 试证 ，式中k为常数。 证明 已知在球坐标系中 则 即 1-17 试证 证明 利用公式 令上式中的，则 将上式整理后，即得 。 1-18 已知矢量场F的散度，旋度，试求该矢量场。 解 根据亥姆霍兹定理，，其中 ； 当时，则，即。那么因，求得 则 1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。 解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为 ，， 因此，该点在直角坐标下的位置为 ; ; z = 3 同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系， ；； 可得该点在球坐标下的位置为 ； ； 1-20 已知直角坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。 解