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实际使用部分迭代法时,要对w的数值进行合理的估计。 若是不收敛的时候,可以考虑将w数值进行改变。 松弛因子w的讨论: w=0时,迭代变为: “原地踏步” w=1时,迭代变为: “直接迭代法” 0w1时, 的数值在 和 之间 “内插法” w0或w1时 , 的数值将在 和 之外 “外推法” 部分迭代法计算框图 例题 采用直接迭代法和部分迭代法求解如下方程,并比较上述两种方法的迭代与收敛的情况。 其中,初值x=2.0,w选取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0 实际使用部分迭代法时,要对w的数值进行合理的估计。 若是不收敛的时候,可以考虑将w数值进行改变。 韦格施坦法(Wegstein method) 用于显式方程、具有显式迭代形式的割线法。 割线法: 割线法的迭代方案,利用连接函数曲线上x值等于 的两个点的割线与横坐标相交,定出下一轮的x值,即 迭代公式: 割线法迭代求解的特点: 在各轮迭代中只需进行函数值的计算。 在作每一轮计算时,需要前两轮的信息。 在迭代求解开始前,需设置两个初始点(初值)。 韦格施坦法(Wegstein method) 用于显式方程、具有显式迭代形式的割线法。 与部分迭代法公式具有类似性。 部分迭代法公式: Wegstein方法迭代公式为: 其中: 松弛因子变为一个可以自动调整其数值的因子 韦格施坦法(Wegstein method) 此法的收敛速度,具有超线性收敛的性质,比部分迭代法(包括直接迭代法)快。 需设置两个初始点,但如果在第一轮迭代中采用直接迭代法,从第二轮开始再改用韦格施坦法,则只需设置一个初始点即可迭代求解。 例题: 初值x0=2.0 牛顿-拉夫森法 (Newton-Raphson method) 对于非线性方程组: 在 只截取一次项,则可得如下的方程形式: 记作 称雅可比矩阵,则可得如下方程: 上式为一线性方程组,于是,可得牛顿-拉夫森法迭代公式为: 牛顿-拉夫森法的收敛速度很快,具有二次收敛性。 处作泰勒展开 牛顿-拉夫森法 (Newton-Raphson method) 该方法的实质: 函数所代表的,就是原函数曲线在 处的切线。该切线与横坐标轴的交点给出的 处的切线;尽管还不是原方程的解,但是已经大大逼近了一步。 优势点:收敛速度快! Notice: 迭代只需要利用前一轮的信息,因此,算法起步,需要一个初始点。 对于多解的情况,初始点离哪个解近,就只能收敛到哪个解,不会收敛到其他解上。 存在局部收敛性的问题。 例题: 用牛顿法和直接迭代法分别进行迭代计算。 初始点 x0=20.0 并比较两者收敛性质。 S1,S2,S3 S3 S1,S2,S6,S7 S2 S1,S4,S5,S3,S3* S3 S1,S4,S5,S6,S7 S1,S4,S7 S2,S5,S6 S5,S6 S1,S4,S7,S1** S1,S4,S7 S2 S2 S3,S4,S5 S3 S4,S5,S6,S7 S5,S6 S1,S4,S7 * 非多余断裂族 权因子总和 S2 9 2+3+2=7 S3,S4,S5 2+3+3=8 S4,S5,S6,S7 3+3+4+2=12 S1,S4,S7 断裂组 为最优断裂组 S1,S4,S7 对于非常复杂的系统结构是有可能存在两个以上非多余断裂族的(极少)。此时只需要找到其中的一个断裂族,并从中选出最优断裂组。 3. 双层图断裂法---方程组断裂 设一过程系统,其方程可表示为: 否则成为超定问题 系统的自由度: 如何选择设计变量 — 双层图法 如系统方程组: 双层图法: (1)双层:上下两层 (2)上下两层均为节点,其中上层节点为方程;下层为变量 (3)从方程开始,寻找方程中的变量,两者进行连接 f1 f2 f3 f4 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 节点 节点 f1 f2 f3 f4 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 节点 节点 节点的局
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