第四章一节矩阵的特征值和特征向量.pptVIP

* * 第四章 矩阵的特征值和特阵向量 本章主要内容 一、矩阵的特征值和特征向量 二、相似矩阵 三、实对称矩阵的对角化 第一节 矩阵的特征值和特征向量 一、矩阵的特征值和特征向量的概念 定义4.1 设A是n解矩阵，如果存在数 和非零向量 ，使得 则 称为A的一个特征值， 称为A的属于特征值 的特征向量。 例如 设矩阵 不难验证 则 是A的一个特征值，对应于 的特征向量为 (4.1) 例2 求对应的特征值和常数k的值。 已知向量 是矩阵 的特征向量， 解 设 是A的对应于特征值 的特征向量， 则 所以 由此得 解此方程组，得 即当k=1或-2时， 是A的特征向量， 对应的特征值分别为 一般地，为了求出矩阵A的特征值和特征向量，将(4.1)改写为 即 由于 上式说明 是齐次线性方程组 的非零解。 (4.2) 而齐次线性方程组(4.2)有非零解的充分必要条件是 (4.3) 其中 称为矩阵A的特阵矩阵， 其行列式 称为矩阵A的特征多项式， 称为矩阵A的特阵方程。 则 必是特征方程 的根。 若 是A的一个特征值， 因此，A的特征值也称为特征根。 定理4.1 设 为n阶矩阵，则 是A的特征值， 是A的属 于 的特征向量的充分必要条件是： 为特征方程 的根， 是齐次线性方程组 的非零解。 推论1 即如果 则 ( 为任意常数)。 如果 是A的属于特征值 的特征向量，则 ( 为任意 常数）也是A属于 的特征向量。 推论2 如果 都是A的属于特征值 的特征向量，且 则 也是A的属于 的特征向量。 即如果 ，则 例3 求矩阵 的特征值和特征向量和。 解 矩阵A的特征多项式 由此可得A的特征值 对于 ，解齐次线性方程组(E-A)X=0,即 ① 对方程组的系数矩阵施以初等行变换： 于是原方程组①与 同解。 取 为自由未知量， 得方程组的一个基础解系 所以，A的对应于特征值 的全部特征向量为 ( 为任意常数) 对于 ，解齐次线性方程组 即 ② 类似于方程组①的解，可的方程组②的一个基础解系 所以，A的对应于特征值 的全部特征向量为 ( 为任意常数) 对于n阶矩阵 的全部特征值和特征向量的步骤如下： (1) 计算特征多项式 (2) 求特征方程 的所有根，即求得A的全部 特征值 (其中可能有重根或复根)； (3) 对于A的每一个实际特征值 ，求对应的齐次线性方程组 的一个基础解系 ，则A的属于 的 全部特征向量为 其中 是不全为零的任意常数。 例5 求矩阵A的特征值和特征向量，其中 解 由A的特征多项式 (按第1列展开) 得A的唯一实特征值 对于 ，解齐次线性方程组 得其基础解系 所以A的属于特征值 的全部特征向量为 ( 为任意常数)。 例6 求矩阵A的特征值和特征向量，其中 解 矩阵A的特征多项式 由 得A的特征值 对于 解对应的齐次线性方程组 可得它的一个基础解系 所以，A的属于特征值-1的全部特征向量 即