8.6二元函数的极值和最值.PDF

7-6 1 8.6 二元函数的极值和最值 问题的提出 例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 x 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 y 每瓶卖 元，则每天可卖出 70 - 5x + 4y 瓶本 80 + 6x - 7y 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为f (x , y ) = (x - 1)(70 - 5x + 4y ) + (y - 1.2)(80 + 6x - 7y ) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 更一般：给定区域D 上的二元函数z=f (x,y) 讨论它的极值和最值问题 7-6 3 元函数极值的定义 设函数z = f (x , y )在点(x , y ) 的某邻域内 0 0 有定义，对于该邻域内异于(x , y ) 的点(x , y ) ： 0 0 若满足不等式f (x , y ) f (x , y ) ，则称函数 0 0 在 (x , y ) 有 极 大 值； 若 满 足 不 等式 0 0 f (x , y ) f (x , y ) ，则称函数在(x , y ) 有极 0 0 0 0 小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 7-6 4 示意图 二元函数的图像一般是一张空间曲面 7-6 5 几个具体例子 例1 函数z = 3x 2 + 4y 2 在(0,0) 处有极小值． (1) 2 2 例２函数z = - x + y (2) 在(0,0) 处有极大值． 例３ 函数z = xy (3) 在(0,0) 处无极值． 7-6 6 元函数取得极值的必要条件 定理 设函数z = f (x , y )在点(x 0 , y 0 )具有偏导数，且在 点(x , y )处有极值，则它在该点的偏导数必然为 0 0 零： f (x , y ) = 0， f (x , y ) = 0. x 0 0 y 0 0 7-6 7 定理的证明 证 不妨设z = f (