4微分方程.doc

《微积分基础》单元辅导四 ——微分方程 学习目标：理解微分方程的概念；掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. 内容介绍 在研究物理、几何以及其他许多实际问题时，常常需要寻求与问题有关的变量之间的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的关系式，然后再从中解出所求函数，这种关系就是本章我们将要学习的微分方程.1676年，伯努利（Bernoulli）致牛顿（Newton）的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具，在这里我们主要讨论微分方程的基本概念，并介绍可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. §1 微分方程的基本概念 不定积分的方法告诉我们.一个函数的导数如果是已知的，就可能求出这个函数，现在进一步的讨论，假如只知道函数的导数所满足的一个关系式，能否确定这个函数呢？这就是微分方程所要研究和解决的问题. 首先我们来看两个例子： 例1 [曲线方程] 已知曲线过点，且曲线上任一点处切线的斜率为，求此曲线方程. 解 设曲线方程为，由已知条件 对上式两边积分，得 又由已知条件：曲线过点，即，代入上式，得 即 故所求曲线方程为 例2 [自由落体运动]一质量为的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程. 解 建立坐标系如图1所示，坐标原点取在质点开始下落的点，轴铅直向下.设在时刻质点的位置为，由于质点只受重力作用，且力的方向与轴正向相同，故有牛顿第二定律，得质点满足方程为 即 上市式两边再同时积分，得 其中是两个相互独立的1任意常数. 下面我们来引进微分方程的几个基本概念： 在例1中，方程中含有未知函数的导数.一般地，含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程.本课程所讨论微分方程均为常微分方程. 微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.例如，例1中的1微分方程是一阶微分方程；例2中的微分方程是二阶微分方程. 未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。例如方程 都是线性微分方程。 任何满足微分方程的函数都成称为微分方程的解，求微分方程的解的过程，称为解微分方程. 例1中，是微分方程的解；例2中，是微分方程的解.我们注意到，方程的解中带有任意常数.如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.例如例1中的是微分方程的通解，例2中的是微分方程的通解. 在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得到的解称为微分方程的特解.这种附加条件称为初始条件.例如，例1中的初始条件为，满足初始条件的特解为. §2 可分离变量的微分方程 这里主要讨论一阶微分方程中一类很重要的微分方程，就是可分离变量的微分方程. 形如 * 的微分方程称为可分离变量的微分方程.其特点是方程的右端是只含的函数与只含的函数的乘积. 可分离变量的微分方程可以用积分的方法求解. 将方程*式的形式化为 再对两边分别积分，得 设分别为的原函数，则微分方程的通解为 . 例3 求微分方程 的通解. 解 将方程分离变量 两边积分 得通解 即 例4 求微分方程满足初始条件的特解． 解 分离变量得到 得到通解 由初始条件得 §3 一阶线性微分方程 形如 ** 的微分方程称为一阶线性微分方程.当，方程**称为一阶线性齐次微分方程；当，方程**称为一阶线性非齐次微分方程. （一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程**中，若，则 是可分离