1-7无穷小与无穷大1.pdf

第一章 第七节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念与性质 二、无穷小的比较 三、无穷大 一、无穷小的概念与性质 1. 无穷小的概念 x →x ( ) f0 , x → (或x →∞) 定义1.5 若 0 时, ( 时) , f0 , x → 则称函数 x →x 时的无穷小. (f )x 为 0 (或x →∞) 时的无穷小. (1) lim ( 1) 0, x − 例如： x →1 函数x －1是x →1 时的无穷小; 1 (2) lim 0, →x ∞ x 1 函数 是当x →∞时的无穷小; x 1 (3) lim 0, →−x ∞ 1 −x 1 函数 是当→x ∞ − 时的无穷小. 1 −x (4) { }x ， 以零为极限的数列 n 称为当n →∞时 的无穷小. 1 2 , 都是n →∞ 时的无穷小. n n 3 注 1°除0 以外的任何常数都不是无穷小，无论 它多么小! 因为 lim ( ) 0 f x ∀ ε 0 , C ∃δ 0, x x → 0 当0x x − δ 时, 0 ( f ) x 0 − ε 所以C 只能是0 ! C 2 °不能笼统地说某函数是无穷小， 而应当说函数 是自变量趋向某个值时的无穷小. 例如，说 “函数x −1 是无穷小”是不对的; 而应当说，函数x −1 当x →1 时为无穷小. 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1.7 lim ( ) f x A (f )x A +