概率论与数理统计 第1章习题.ppt

4. 5. 7. 8. 10. 14. 19(1) 16. 17. 21. 26. 28. * 设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 , P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率. 解 =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 广义加法定理 所求概率为 P(A∪B∪C) P(AB)=P(BC)=0 AB=BC=? 由于ABC?AB,或ABC?BC P(ABC)?P(AB) =0 非负性 0? P(ABC)=0 P(A∪B∪C)=3?(1/4)-(1/8)=5/8 若 P(A∪B∪C)=P(B∪(A∪C)) =P(B)+ P(A∪C)-P(B(A∪C)) P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(AC) P(B(A∪C))= P(BA∪BC) =P(BA)+P(BC)-P((BA)(BC)) =P(AB)+P(BC)-P(ABC) 仍有P(A∪B∪C) =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率. 解 基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词, 这实际上是排列问题,故基本事件总数 所求的55个由两个不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数 nA= 55 . 故所求概率 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少? 解 基本事件是从17桶油漆中任取9桶, 这实际上是组合问题, 取出的9桶油漆中有4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成: 先从10桶白漆中取出4桶,有 种取法, 再从4 桶黑漆中取出3桶,有 种取法, 最后从3桶红漆中取出2桶,有 种取法, 故 故所求概率 (2)恰有k个次品的概率 至少有2个次品,则可能是2个,3个,…,200个次品,按加法定理 至少有2个次品的概率 简单的方法是利用其逆事件,少于2个次品,即恰有1个次品或没有次品,从而 在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个. (1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率. 解 基本事件是从1500个产品中取200个, 基本事件总数n= (1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数 故恰有90个次品的概率 在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7 张,求其排列结果为ability的概率. 解 法一: 基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列 故基本事件总数为排列数 从11张卡片中抽出字母 的方式有 a 1 b 2 i 2 l 1 i 1 t 1 y 1 ? ? ? ? ? ? = 4 种 故所求概率 法二:利用条件概率和乘法公式 设a,b,i,l,i,t,y分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件. 则 P(ability)=P(a)P(b|a)P(i|ab)P(l|abi)P(i|abil)P(t|abili)P(y|abilit) = ? ? ? ? ? ? = 已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B). P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 故 因此 解 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少? 解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋” 则事件B表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋” 事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球”. 按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) 据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律: P{孩子得病}=0.6, P{母亲得病|孩子得病}=0.5, P{父亲