奥数方阵问题打印.docVIP

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第三讲 方阵问题 知识导航 学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。 核心公式: 1.总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心) 2.外一层每边人数比内一层每边人数多2 相邻两层之间,每层的总数相差8 3.最外层每边人数=(最外层总人数÷4)+1 最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4 4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 5. 中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4 例1:学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少 人? 解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。 【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人? 【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子 14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个? 【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多 少人? 【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多 少枚棋子? 例2:参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这 个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。问参加团体操表演的运动员 有多少人? 解析:如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每 行、每列人数相等;最外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人, 因而我们可以得到如下公式: 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 解 :方阵问题的核心是求最外层每边人数。 原题中去掉一行、一列的人数是33, 则去掉的一行(或一列) 人数= 人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方, 所以总人数为(人) 【巩固】 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列, 如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生? 例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数? 解法1:这样想:把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。 (1)中实方阵总人数:12×12=144(人) (2)第四层每边人数:12-2×(4-1)=6(人) (3)空心方阵人数:(6-2)×(6-2)=16(人) (4)中空方阵人数:144-16=128(人) 答:总人数是128人。 小结:中空方阵总人数=外边人数×外边人数-(内边人数-2)×(内边人数-2) 解法2:这样想:把中空方阵分成四个相等的长方形。 (1)每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8(人) (2)每个长方形的宽是层数:4人 (3)总人数:8×4×4=128(人) 答:总人数是128人。 小结:中空方阵总人数=(每边人数-层数)×层数×4 【巩固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面, 每边插7面。一共要准备多少面旗子? 例4:一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知 从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角 形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花? 解析:①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍. 又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵 数为:(棵)。 ②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的, 所以大三角形三条边上共栽花:(棵)。 ③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算 大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上 栽花棵数为:(棵) 解:大三角形三条边上共栽花:(棵) 中间画斜线小三角形三条边上栽花:(棵) 整个花坛共栽花:(棵) 答:大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。 【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人? 例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子, 请问:最外边一层每边有多少枚棋子? 解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点, 可知最外层共有棋子数: (200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个) 最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个) 解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。 每一部分的棋子数:200÷4=50(个) 每一部分每排的棋子数:50÷5=1

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