薄膜模型模拟引力的研究-基地物理.PDF

教学研究论文 《基地物理》 2013 年第1 期 膜模型模拟引力的研究 赖盛强1 （1. 物理科学与技术学院 12 级物理学专业基地1 班，甘肃 兰州 730000 ） 要: 本文选题自全国物理学术竞赛题目，主要研究了当两个质量悬殊的球在水平膜上，可根 据大球静止时，分析小球的运动来定量模拟引力的可行性。通过求解非线性微分方程，得到 了理论上模拟引力需要的形状，并与膜实际形状相对比，结果证明在一定精度下可以进行模 拟，并给出了提高模型精度的意见。 键 词：弹性膜；万有引力 1 引 言 当两个球压在绷紧的、边缘固定的水平膜上，膜会弯曲，这样不论球的运动状态与材料 属性如何，在重力的作用都会有相互靠近的趋势，仿佛存在一个吸引力一样，而且两球越近， 这种 吸引”似乎越强，这些特征与物体在万有引力作用下的表现具有一定的相似性。有些科 普作品中用石头压在橡皮膜上来定性比喻广义相对论中的弯曲时空，也就是从相对论的角度 [1] 来模拟万有引力，但是很少有人定量地分析这个模型 。 考虑到牛顿引力理论即是广义相对论的近似，而且 学处理也较为简单。本文在牛顿 的万有引力（经典力学）的范围内定量讨论这个模型，并选择在膜的形状是轴对称的，而且 两个质量差别很大的球 （质量大的为A 球，质量小的为B 球，以下简称A 、B ）的情况下来 进行讨论。 为了定量模拟引力，必有满足三个条件：AB 之间的力应当满足正比于A 的质量，正比 于B 的质量和反比于AB 间的距离 （这里还没有准确定义距离是什么，但要模拟引力一定 要有一个 距离”存在，下面会讨论）。对B 球而言，其驱动力 质上来源于它的重力，已正 比于它的质量。考虑是否满足平方反比率时，可以先得到膜的实际形状，然后得到球在上面 的运动规律，与引力条件下的运动（即圆锥曲线运动对比）。另一种是通过理论计算得到的 要满足模拟引力的膜的 理论形状”，再与膜的实际形状相互对比和讨论。为避免关于 际中 摩擦损耗的复杂讨论，本文采用后者。并用量纲分析论证了正比于A 球质量的可能。 2 理论形状 首先，万有引力是保守力，系统能量守恒。为此，这个系统的各种摩擦损耗应当尽量降 到最低，因此理论考虑时都将摩擦力忽略了。为简化讨论，将 B 视为质点，就不必考虑其 在膜上的纯滚动与否。A 因是 质球体，而且忽略其运动，所以在A 体积以外的空间A 的 行为与质点相同。A 将膜压弯后，再将B 放入系统中，B 在会在膜上滚动。如果以AB 在 际空间上的距离作为 AB 间的距离”的话，设想AB 一开始都是静止的，那么在引力作用下 —————— 基金项目：基地创新基金 学研究项目（No.201301003）资助项目。 通讯作者：赖盛强（1993 －），男，福建省龙岩市人。 联系方式：E-mail: laishq12@lzu.edu.cn，Tel.: 27 教学研究论文 《基地物理》 2013 年第1 期 它们将沿直线运动，而实际球在膜上走过的是一个曲线，这样以A 点为参考点 （A 已近似 静止）B 球的角动量不守恒。而若将A 、B 两球的运动投影到水平面，这时候以A 为参考点 系统角动量守恒，模拟引力才成了可能。这时AB 间距就是指其水平距离。 图1. 系统的水平投影 图2. 系统的横剖面 取B 球质量很小，基本不对膜的形状产生什么影响。 验中将膜套在圆形盆上，并把A 球放在圆心，这样边界条件就是近似轴对称的了，进而膜的形状是轴对称的旋转曲面，而且 此时 学处理也更方便了。建立以对称轴为轴的柱坐标系，确定 B 球在水平面上投影的位 置只要x 和 。对膜而言，设膜上任一子午线上一点切线与水平夹角为θ，（见图1、2 ）则： tanq y , y dy / dx