数字信号处理第八讲课件.ppt

4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=DFT［x(n)］ 则 DFT［x*(n)］=X*(N-k), 0≤k≤N-1 ? 且 X(N)=X(0) ;5 DFT的共轭对称性 （1）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0≤n≤N-1 xop(n)=-x*op(N-n), 0≤n≤N-1 ; 上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。 如下图所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。 ;共轭对称与共轭反对称序列示意图 ; 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N-1 将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 可得到 ? x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］;（2） DFT的共轭对称性 ① 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Re[x(n)]=1/2[x(n)+x*(n)] jxi(n)=jIm[x(n)]=1/2[x(n)-x*(n)] 可得 DFT［xr(n)］=1/2DFT[x(n)+x*(n)] =1/2[X(k)+X*(N-k)] =Xep(k); 同理可得 DFT［jxi(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(n)］ =1/2［X(k)-X*(N-k)］ =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其中 Xep(k)=DFT［xr(n)］ , X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFT［jxi(n)］ , X(k)的共轭反对称分量 ;② 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0≤n≤N-1  其中 xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］, x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分量 可得 DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］ =1/2［X(k)+X*(k)］ =Re［X(k)］; DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］ =1/2［X(k)-X*(k)］ =jIm［X(k)］ 因此 X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) 其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］ jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］; 　　综上所述，可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列