理论力学7 变分法.pdf

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理论力学7 变分法

第 七 章 力学中的变分方法 本章主要内容 §1、Hamilton原理 §2、正则变换 §3、Hamilton-Jacobi方程 §4、从质点组到连续体系 2 §1、Hamilton原理 1、变分法 2、 Hamilton原理的表述 3、修正的Hamilton原理 3 1、变分法 (1)函数 设t为自变量,F 为t 的函数。如果自变量从t 变化到 t = t  Dt, (其中, 为小量) Dt F 函数F相应的变化为: 1 2 F (t )  F (t ) = DF  D F   2!  1  2 = F Dt  F (Dt )  , 2! 如果在t点,对任意小量 Dt, DF = 0, O t t 就称F 在t 点取稳定值。 4 显然,  F 在t点取稳定值 F t = 0 稳定值可能是极大值,也可能是极小值或非极值(如图)。 (2)泛函  设t为自变量,x为t的函数,即 x = x (t), 所以 x = dx / dt ,  为  的已知函数, x f (x ,x ,t ) x , x ,t f ,x 都有连续的2阶导数。 x (t)的泛函记为F [x(t)],定义为: t 2  F [x (t )]  t f (x ,x ,t )dt . 1 泛函F [x (t)]与 f 的函数形式有关。 O t1 t2 t 对函数F (t) : t  F , t  F , x (t ) = t 2  F , x (t ) = sin(t )  F , 对泛函F [x (t)]: 5 所以,泛函是函数的函数。 从 (t , x )到(t , x ), x 1 1 2 2 x 什么函数 x (t)使泛函F [x (t)] 2 取稳定值? 要求:x(t

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